Entero de soluciones de la ecuación de $x^3+10x-1=y^3+6y$?

Question

Quiero encontrar todos los enteros de la solución de las siguientes ecuaciones en números enteros$$x^3+10x-1=y^3+6y$$ I tried to factor it somehow, but failed. Also $x$ and $$ y se tienen diferentes paridad. ¿Cómo se puede solucionar esto?

Answer 1

La comparación de los términos de $6y$ $10x$ nos dice que $x$ no puede ser mayor que $y$. Vamos a averiguar eso, vamos a $y-x=z$ y la ecuación se convierte en

$$x^3+10x-1=(x+z)^3+6(x+z)$$ $$-3zx^2-(3z^2-4)x-(z^3+6z+1)=0 $$

Discriminante de la obtenida de segundo grado en $y$ debe ser no negativo, que es

$$(3z^2-4)^2-4(3z)(z^3+6z+1)\ge0,$$which gives $z=0$ only. Thus $y=x$, which gives $4x=1$. No se entero de soluciones!