Mi prueba de que $S_n/\sqrt n$ no converge en probabilidad

Question

Estoy dada una secuencia $(X_n)$ de i.yo.d. variables aleatorias con media de $0$ y varianza finita $\sigma^2$. Deje $S_n=X_1 + ... + X_n$. Tengo que demostrar que $S_n/\sqrt n$ no converge en probabilidad. Esto es lo que hice.

Desde $S_n/\sqrt n$ converge en distribución a una variable aleatoria normal $Z$, con una media de cero, si $S_n/\sqrt n$ converge en probabilidad a todo esto se debe a $Z$. Pero

$$P(|\frac {S_n} {\sqrt n} - Z| > \epsilon) \geq P(|\frac {S_n} {\sqrt n}|<\epsilon, |Z|>2\epsilon)$$

Ahora llego al punto principal no estoy seguro de. Puedo decir que las variables aleatorias $S_n\sqrt n$ (para cualquier $n$) y $Z$ son independientes? Parece que podría ser, ya que, en cierto sentido, no podemos decir cuál es el límite de una secuencia de cualquier segmento inicial de la misma.

Si es así, entonces puedo continuar (todo esto parece correcto para mí)

$$\begin{align} &P(|\frac {S_n} {\sqrt n}|<\epsilon, |Z|>2\epsilon) \\ =&P(|\frac {S_n} {\sqrt n}|<\epsilon)P(|Z|>2\epsilon) \\ \geq&(1 - \frac {\sigma^2} {n\epsilon^2})P(|Z|>2\epsilon) \to P(|Z|>2\epsilon) > 0 \end{align}$$

Answer 1

Uno puede construir fácilmente una entidad a la cual podemos decir que "$S_n/\sqrt n$ converge en probabilidad".

Tomemos, por ejemplo, $W_n = -X_1+X_2+X_3+...+X_n$

Entonces

$$\lim_{n\rightarrow \infty} P\left(\left|\frac {S_n}{\sqrt n} - \frac {W_n}{\sqrt n}\right|> \epsilon\right) = \lim_{n\rightarrow \infty} P\left(\left|\frac {2X_1}{\sqrt n} \right|< \epsilon\right) = 0$$

y el criterio de convergencia en probabilidad es satisfecho.

Así que sospecho que la "$S_n/\sqrt n$ no converge en probabilidad" se debe tener una información más específica y sentido estrecho en la OP del caso.

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En otro frente, el establecido frase "$S_n/\sqrt n$ converge en distribución a una variable aleatoria Z" a veces nos hace olvidar que el fenómeno descrito por "la convergencia en distribución" es que la secuencia de las funciones de distribución de $F_n$ $S_n/\sqrt n$ converge a una cierta función de distribución de $F$. Hay realmente no $Z$ "al final del camino" esperando "hacerse uno" con $S_n/\sqrt n$ . $Z$ es una variable aleatoria, una entidad separada de la distribución que caracteriza (que caracteriza también un número infinito de otros $Z$'s). Si no hay ninguna variable aleatoria, la cuestión es " $S_n/\sqrt n$ independiente de $Z$?" no puede ni siquiera se plantea.

Answer 2

Vamos a ver si esto funciona.

Set $\sigma^2=1$ (si sigma es 0 la declaración es verdadera) y asumen $V_n=S_n/\sqrt{n}$ converge en probabilidad a una r.v. Z. Por la CLT, Z tiene una distribución normal estándar.

Definir $W_n=\frac{S_{2n}}{\sqrt{2n}}$. Estas variables convergen a la Z en la probabilidad.

Por último, tome $T_n=\frac{S_{2n}-S_n}{\sqrt{n}}$. T converge en distribución a una normal estándar, pero en la probabilidad de a $(\sqrt{2}-1) Z$, debido a $T_n=\sqrt{2}W_n-V_n$, que no tiene distribución normal estándar.