Compacto operador

Question

Si $H$ $K$ son espacios de Hilbert,muestran que si $T:H\longrightarrow K$ es un operador compacto y $\{e_{n}\}$ es cualquier ortonormales secuencia en la $H$$\|Te_{n}\|\to0$.Es a la inversa verdad?

gracias.

Answer 1

Aquí está la segunda entrega que responde a la inversa en la afirmativa. El resultado no es fácil de establecer. Un método de prueba utiliza el espectro de cálculo para la auto-adjuntos a los operadores, pero esto es como el agrietamiento de una tuerca con un martillo. Me ofrecen un enfoque más suave de abajo, que explota las propiedades geométricas de los espacios de Hilbert.

Lema 1 Cada secuencia delimitada en un espacio de Hilbert contiene una débil convergente larga.

Prueba Esto se desprende de la reflexividad de los espacios de Hilbert. Q. E. D.

Lema 2 Cada débilmente convergente de la secuencia en un espacio de Hilbert es acotada.

Prueba Esto se desprende de la Acotamiento Uniforme Principio. Q. E. D.

Definición 1 Deje $ \mathcal{H} $ ser un espacio de Hilbert, y deje $ C $ ser un fijo colección de secuencias en $ \mathcal{H} $. Dada una secuencia de $ (\mathbf{x}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ in $ \mathcal{H} $, decimos que $ (\mathbf{x}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ se puede aproximar por $ C $ si para cada secuencia $ (\epsilon_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ de los números reales positivos, existe un $ (\mathbf{c}_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in C $ such that $ \| \mathbf{c}_{n} - \mathbf{x}_{n} \|_{\mathcal{H}} < \epsilon_{n} $ for all $ n \in \mathbb{N} $.

Definición 2 Deje $ \mathcal{H} $ ser un espacio de Hilbert. Denotamos por $ \mathbf{BOS}(\mathcal{H}) $ el conjunto de todos los delimitada ortogonal las secuencias en $ \mathcal{H} $.

Lema 3 Deje $ \mathcal{H} $ ser un espacio de Hilbert, y dejar $ (\mathbf{x}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ be a weak null-sequence in $ \mathcal{H} $. Then $ (\mathbf{x}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ contiene una larga que se puede aproximar por $ \mathbf{BOS}(\mathcal{H}) $.

Prueba Deje $ (\mathbf{x}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ ser un débil null-secuencia en $ \mathcal{H} $. Fijar una secuencia de $ (\epsilon_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ de los números reales positivos. Nos inductivamente definir un nuevo secuencia $ (\mathbf{v}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ $ \mathcal{H} $ y un aumento de la secuencia de $ (\alpha_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ de enteros positivos de la siguiente manera:

1. Set$ \alpha_{1} := 1 $$ \mathbf{v}_{1} := \mathbf{x}_{1} $.

2. Para cada una de las $ n \in \mathbb{N} $, supongamos que $ \alpha_{1},\ldots,\alpha_{n} $ $ \mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{n} $ han sido definidos. Como $ (\mathbf{x}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ converge débilmente a $ 0_{\mathcal{H}} $, se puede elegir un menor entero positivo $ k > \alpha_{n} $ tal que \begin{equation} \left\| \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \mathbf{v}_{i} \right\|_{\mathcal{H}} < \epsilon_{n}, \end{equation} donde \begin{equation} \lambda_{i} = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\langle \mathbf{x}_{k},\mathbf{v}_{i} \rangle}{\| \mathbf{v}_{i} \|_{\mathcal{H}}^{2}} &\text{, if %#%#%}; \\ 0 &\text{, if %#%#%}. \end{array} \right. \end{equation} A continuación, establezca \begin{equation} \alpha_{n+1} := k \quad \text{and} \quad \mathbf{v}_{n+1} := \mathbf{x}_{k} - \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \mathbf{v}_{i}. \end{equation}

Observe que $ \| \mathbf{v}_{i} \|_{\mathcal{H}} > 0 $ es el resultado de la aplicación de las bacterias Gram-Schmidt orthogonalization procedimiento para $ (\mathbf{x}_{\alpha_{n}})_{n \in \mathbb{N}} $, que es un subsequence de $ \| \mathbf{v}_{i} \|_{\mathcal{H}} = 0 $. Por lo tanto, $ (\mathbf{v}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ es ortogonal de la secuencia. Por Lema 2, $ (\mathbf{v}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ es acotado, por lo que $ (\mathbf{v}_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbf{BOS}(\mathcal{H}) $. Por último, $ \| \mathbf{v}_{n} - \mathbf{x}_{\alpha_{n}} \|_{\mathcal{H}} < \epsilon_{n} $ (\mathbf{x}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ n \in \mathbb{N} $. Q. E. D.

Teorema de Deje $ (\mathbf{x}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ $ for all $ ser espacios de Hilbert. Vamos A $ T: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K} $ ser un delimitada operador lineal que los mapas de cada ortonormales de la secuencia (de ahí cada delimitada ortogonal de secuencia) en $ \mathcal{H} $ a un fuerte null-secuencia en $ \mathcal{K} $. A continuación, $ \mathcal{H} $ es un operador compacto.

Prueba Deje $ \mathcal{K} $ ser un almacén de secuencia en $ T $. Por el Lema 1, existe una débilmente convergente subsequence $ (\mathbf{x}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ $ (\mathbf{x}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ \mathcal{H} $ \mathbf{x} $ se la débil límite de esta larga. Claramente, $ (\mathbf{x}_{n_{k}} - \mathbf{x})_{k \in \mathbb{N}} $ (\mathbf{x}_{n_{k}})_{k \in \mathbb{N}} $ \mathcal{H} $. Let $ (\mathbf{x}_{n_{k_{l}}} - \mathbf{x})_{l \in \mathbb{N}} $ is then a weak null-sequence in $ (\mathbf{x}_{n_{k}} - \mathbf{x})_{k \in \mathbb{N}} $ y un secuencia de $ (\mathbf{v}_{l})_{l \in \mathbb{N}} \en \mathbf{BOS}(\mathcal{H}) $ tal que \begin{equation} \forall l \in \mathbb{N}: \quad \| \mathbf{v}_{l} - (\mathbf{x}_{n_{k_{l}}} - \mathbf{x}) \|_{\mathcal{H}} < \frac{1}{l}. \end{equation} Observar que $. By Lemma 3, there exists a subsequence $ mapa de $ of $ a una fuerte null-secuencia en $ T $. Por lo tanto, por el aproximación de la propiedad, tenemos $ \displaystyle \lim_{l \rightarrow \infty} T(\mathbf{x}_{n_{k_{l}}} - \mathbf{x}) = 0_{\mathcal{K}} $. En otras palabras, $ (\mathbf{v}_{l})_{l \in \mathbb{N}} $ contiene $ \mathcal{K} $ como fuertemente convergente larga. Por lo tanto, $ (T(\mathbf{x}_{n}))_{n \in \mathbb{N}} $ es un operador compacto. Q. E. D.

Answer 2

Deje $ (e_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ ser un ortonormales secuencia en la $ \mathcal{H} $. Como una consecuencia de la Desigualdad de Bessel, $ (e_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ es débilmente convergente a $ 0_{\mathcal{H}} $. De ello se sigue que \begin{align} \forall y \in \mathcal{K}: \quad &\lim_{n \rightarrow \infty} \langle e_{n},{T^{*}}(y) \rangle = 0, \\ &\lim_{n \rightarrow \infty} \langle T(e_{n}),y \rangle = 0. \end{align} Por lo tanto, $ (T(e_{n}))_{n \in \mathbb{N}} $ es débilmente convergente a $ 0_{\mathcal{K}} $.

Ahora, suponga para el bien de la contradicción que $ (T(e_{n}))_{n \in \mathbb{N}} $ no converge en norma a $ 0_{\mathcal{K}} $. Entonces existe un $ \epsilon > 0 $ y una larga $ (e_{n_{k}})_{k \in \mathbb{N}} $ $ (e_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ tal que $ \| T(e_{n_{k}}) \|_{\mathcal{K}} \geq \epsilon $ todos los $ k \in \mathbb{N} $. Como $ (e_{n_{k}})_{k \in \mathbb{N}} $ es acotada en norma, por la compacidad de $ T $ como un operador, existe una larga $ (e_{n_{k_{l}}})_{l \in \mathbb{N}} $ $ (e_{n_{k}})_{k \in \mathbb{N}} $ tal que $ (T(e_{n_{k_{l}}}))_{l \in \mathbb{N}} $ converge a algún límite en $ \mathcal{K} $. Llamar a este límite de $ y_{0} $. Claramente, $ y_{0} \neq 0_{\mathcal{K}} $. Por lo tanto, \begin{equation} \lim_{l \rightarrow \infty} \langle T(e_{n_{k_{l}}}),y_{0} \rangle = \langle y_{0},y_{0} \rangle > 0. \end{equation} Esto contradice el hecho de que $ (T(e_{n}))_{n \in \mathbb{N}} $ es débilmente convergente a $ 0_{\mathcal{K}} $.

Answer 3

Aquí es topológico, la prueba de lo contrario que sirve para complementar Haskell Curry argumento. Se emplea el hecho de que una totalmente delimitado y cerrado subconjunto de un espacio métrico completo $ X $ es un subconjunto compacto de $ X $.

Deje $ \mathcal{H} $ $ \mathcal{K} $ ser espacios de Hilbert, y deje $ T: \mathcal{H} \to \mathcal{K} $ ser un delimitada operador lineal tal que $$ \lim_{n \to \infty} T(\mathbf{e}_{n}) = \mathbf{0}_{\mathcal{H}} \qquad (\spadesuit) $$ para cualquier ortonormales secuencia $ (\mathbf{e}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $$ \mathcal{H} $. Podemos suponer, WLOG, que $ T \neq 0_{\mathscr{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})} $. Fix $ \epsilon > 0 $, y elija $ S $ a un máximo de ortonormales (posiblemente vacía) subconjunto de $$ \mathbb{S}(\mathcal{H}) \Big\barra invertida T^{-1} \! \left[ \epsilon \cdot \overline{\mathbb{B}(\mathcal{K})} \right], $$ donde $ \mathbb{S}(\mathcal{H}) $ denota la unidad de la esfera en $ \mathcal{H} $ $ \mathbb{B}(\mathcal{K}) $ el abierto de la unidad de pelota en $ \mathcal{K} $.

Ahora, $ S $ es finito; si este no fuera el caso, entonces la $ S $ contendría una ortonormales secuencia $ (\mathbf{e}_{n})_{n \in \mathbb{N}} $, de allí $$ \forall n \in \mathbb{N}: \quad \| T(\mathbf{e}_{n}) \|_{\mathcal{K}} > \epsilon. $$ Una contradicción a $ (\spadesuit) $ lo que se puede obtener. Por lo tanto, $ \text{Span}(S) $ es finito-dimensional subespacio de $ \mathcal{H} $, lo que implica que $ \overline{\mathbb{B}(\text{Span}(S))} $ es un subconjunto compacto de $ \mathcal{H} $. Proceder a cubrir este subconjunto compacto de $ \mathcal{H} $ por un número finito de abiertos bolas $ B_{1},\ldots,B_{N} $, cada uno con un radio de $ \dfrac{\epsilon}{\| T \|} $. Entonces claramente $$ \forall k \in \{ 1,\ldots,N \}: \quad \text{Diámetro}(T[B_{k}]) \leq 2 \epsilon. $$ Siguiente, observe que por la maximality de $ S $, tenemos $$ \mathbb{S}(S^{\asesino}) \subseteq T^{-1} \! \left[ \epsilon \cdot \overline{\mathbb{B}(\mathcal{K})} \right]. $$ La reescritura de este como $$ T \! \left[ \mathbb{S}(S^{\asesino}) \right] \subseteq \epsilon \cdot \overline{\mathbb{B}(\mathcal{K})}, $$ tenemos $$ T \! \left[ \mathbb{B}(S^{\asesino}) \right] \subseteq \epsilon \cdot \overline{\mathbb{B}(\mathcal{K})}, $$ así $$ \text{Diámetro} \! \left( T \! \left[ \mathbb{B}(S^{\asesino}) \right] \right) \leq 2 \epsilon. $$ Evidentemente, $ \left\{ \mathbb{B}(S^{\perp}) + B_{k} \right\}_{k = 1}^{N} $ cubre $ \mathbb{B}(S^{\perp}) + \mathbb{B}(\text{Span}(S)) \supseteq \mathbb{B}(\mathcal{H}) $. Por lo tanto, $$ \overline{T[\mathbb{B}(\mathcal{H})]} \subseteq \bigcup_{k = 1}^{N} \overline{T \! \left[ \mathbb{B}(S^{\asesino}) + B_{k} \right]} \subseteq \bigcup_{k = 1}^{N} \overline{T \! \left[ \mathbb{B}(S^{\asesino}) \right] + T[B_{k}]}. $$ Como $$ \forall k \in \{ 1,\ldots,N \}: \quad \text{Diámetro} \! \left( \overline{T \! \left[ \mathbb{B}(S^{\asesino}) \right] + T[B_{k}]} \right) \leq 4 \epsilon, $$ vemos que $ \overline{T[\mathbb{B}(\mathcal{H})]} $ es totalmente acotado y cerrado subconjunto del espacio métrico completo $ \mathcal{K} $, por lo tanto compacto. Por lo tanto, $ T $ es un operador compacto.