¿Cómo puedo encontrar los puntos en los que dos círculos se intersectan?

Question

Dado el radio y $x,y$ coordenadas del punto central de los dos círculos ¿cómo puedo calcular sus puntos de intersección, si tienen alguna?

Answer 1

Esto se puede hacer sin ningún tipo de trigonometría. Deje que las ecuaciones de los círculos de ser $$(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = r_1^2, \tag{1}$$ $$(x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 = r_2^2. \tag{2}$$ Restando las dos ecuaciones y expansión, nosotros, en el hecho de obtener un lineal de la ecuación de $x$$y$; después de un poco de reorganización se convierte en $$-2x(x_1 - x_2) - 2y(y_1 - y_2) = (r_1^2 - r_2^2) - (x_1^2 - x_2^2) - (y_1^2 - y_2^2).$$ (Si los círculos se intersectan, esta es la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección.) Esta ecuación puede resolverse para uno de $x$ o $y$; supongamos $y_1 - y_2 \ne 0$, de modo que podemos resolver por $y$: $$y = -\frac{x_1 - x_2}{y_1 - y_2} x + \dotsc. \tag{3}$$ Al sustituir esta expresión para $y$ a $(1)$ o $(2)$ da una ecuación cuadrática en sólo $x$. A continuación, el $x$-las coordenadas de los puntos de intersección son las soluciones a este; el $y$-las coordenadas pueden ser obtenidos por el taponamiento de la $x$-coordenadas en $(3)$.

Answer 2

Una solución fácil es considerar otro plano de tal manera que los centros se encuentran a lo largo de un eje.

Dados los puntos de $(x_1,y_1)$$(x_2,y_2)$. Nos centramos en el centro de ambos círculos dada por $$ \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right). $$

La distancia entre los centros de los círculos está dada por $$ R = \sqrt{ (x_2-x_2)^2 + (y_2-y_1)^2}. $$

Podemos considerar los siguientes vectores ortogonales $$ \vec{a} = \left( \frac{x_2-x_1}{R}, \frac{y_2-y_1}{R} \right), \vec{b} = \left( \frac{y_2-y_1}{R}, - \frac{x_2-x_1}{R} \right). $$

En el $(\vec{a},\vec{b})$ plano obtenemos las ecuaciones $$ \big( a + R / 2 \big)^2 + b^2 = r_1^2,\\ \big( a - I / 2 \big)^2 + b^2 = r_2^2. $$

De dónde $$ a = \frac{r_1^2 - r_2^2}{2R},\\ b = \pm \sqrt{ \frac{r_1^2+r_2^2}{2} - \frac{(r_1^2-r_2^2)^2}{4R^2} - \frac{R^2}{4}}. $$ Los puntos de intersección están dadas por $$ (x,y) = \frac{1}{2} \big( x_1+x_2, y_1+y_2 \big) + \frac{r_1^2 - r_2^2}{2R^2} \big( x_2-x_1, y_2-y_1 \big)\\ \pm \frac{1}{2} \sqrt{ 2 \frac{r_1^2+r_2^2}{R^2} - \frac{(r_1^2-r_2^2)^2}{R^4} - 1} \big( y_2-y_1, x_1-x_2 \big), $$ donde $R$ es la distancia entre los centros de los círculos.

Answer 3

Una buena manera de ver esto es considerar el caso cuando un punto está en el origen y el otro se encuentra en el eje de las x. Dejar los puntos en $(0,0)$, $(d,0)$ y los radios de ser $r_1$, $r_2$. Las dos ecuaciones simplificar a $$x^2+y^2=r_1^2$$ y $$(x-d)^2+y^2=r_2^2$$ El uso de la primera a encontrar $y^2$ y sustituir en la segunda. $$(x-d)^2+r_1^2-x^2=r_2^2$$ ampliar y simplificar $$-2xd+d^2+r_1^2=r_2^2$$ así $$x=\frac{r_1^2-r_2^2+d^2}{2d}$$ y de Pythagorus $$y=\sqrt{r_1^2-x^2}.$$ Esta parte venía de mathworld.

Para la posición general de caso con los puntos $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$ vamos $$\begin{align} d&=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\\ l&=\frac{r_1^2-r_2^2+d^2}{2d}\\ h&=\sqrt{r_1^2-l^2} \end{align}$$ Ahora $\left(\tfrac{x_2-x_1}{d},\tfrac{y_2-y_1}{d}\right)$ $\left(\tfrac{y_2-y_1}{d},-\tfrac{x_2-x_1}{d}\right)$ son dos ortogonal de vectores unitarios y podemos girar y traducir para obtener la solución general $$\begin{align} x&=\frac{l}{d}(x_2-x_1) \pm \frac{h}{d}(y_2-y_1) + x_1,\\ y&=\frac{l}{d}(y_2-y_1) \mp \frac{h}{d}(x_2-x_1) + y_1.\\ \end{align}$$

Answer 4

Ejemplo 1: Encontrar los puntos de intersección de los círculos dada por sus ecuaciones de la siguiente manera:

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$

$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 16$

Solución del Ejemplo 1:

Primero nos expandir las dos ecuaciones de la siguiente manera:

$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 9 $

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 16 $

Multiplicar todos los términos de la primera ecuación por -1 para abtain una ecuación equivalente y mantener la segunda ecuación sin cambios

$-x^2 + 4x - 4 - y^2 + 6y - 9 = -9 $

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 16 $

Ahora añadimos los mismos lados de las dos ecuaciones para obtener una ecuación lineal

$2x - 3 + 8y - 8 = 7 $

La cual puede escribirse como

$x + 4y = 9 \textbf{ or } x = 9 - 4y $

Ahora sustituimos $x$ $9 - 4y$ en la primera ecuación para obtener

$(9 - 4y)^2 - 4(9 - 4y) + 4 + y^2 - 6y + 9 = 9 $

El cual puede ser escrito como

$17y^2 -62y + 49 = 0 $

Resolver la ecuación de segundo grado y para obtener dos soluciones

$y = \frac{(31 + 8\sqrt{2})}{17} \approx 2.49 $

y $ y =\frac{31 - 8\sqrt{2}}{17} \approx 1.16 $

Ahora sustituimos los valores de y obtenidos en la ecuación de $x = 9 - 4y $ para obtener los valores de x de la siguiente manera

$x = \frac{29 + 32\sqrt{2}}{ 17} \approx - 0.96 $

y $x = \frac{29 - 32\sqrt{2})}{17} \approx 4.37 $

Los dos puntos de intersección de las dos cirlces están dadas por

$(- 0.96 , 2.49)$ $(4.37 , 1.16)$

Answer 5

Deje $C_1 = (x_1,y_1), C_2 = (x_2,y_2)$ ser los centros de los dos círculos y $r_1,r_2$ ser sus radios respectivamente.

Sus ecuaciones son $$(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = r_1^2$$ $$(x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 = r_2^2$$

Se cruzan sólo iff $|r_1-r_2|\leq|C_1-C_2|\leq|r_1+r_2|$ donde $|C_1-C_2|$ es la distancia entre los dos centros. Si la igualdad se mantiene, los círculos se tocan y hay una solución. Por estricto de las desigualdades, que se cruzan y se tienen dos soluciones.

Acaba de resolver el sistema de ecuaciones. Supongamos que $x_0$ es un punto en el primer círculo. Entonces, su representación paramétrica es $x_0 = (x_1+r_1\cos\theta,y_1+r_1\sin\theta)$ algunos $\theta$. Si $x_0$ también se encuentra en el segundo círculo, que será un punto de intersección, también debe satisfacer la ecuación de la segunda círculo decir $$(x_0-x_2)^2 + (y_0-y_2)^2 = r_2^2$$ Sustituir la forma paramétrica, y averiguar el valor de la(s)$\theta$.