Comprender con precisión el producto escalar de...

Question

Hay dos definiciones del producto escalar:

1. $A \cdot B = A_1B_1 + A_2B_2 + \cdots + A_nB_n$

2. $A \cdot B = AB\cos(\theta)$

He estado tratando de desarrollar una intuición de la geometría y el álgebra de producto escalar, y por qué son lo que son. Aunque la ejecución de operaciones con derivados de la formula es muy simple, me estoy encontrando un poco más difícil entender lo que exactamente es un producto escalar.

He intentado derivar $(2)$$(1)$. Sin embargo, terminé regresando a $(2)$ - que es, en la comprobación de $(2)$, tuve que asumir que $(2)$ ya era cierto, que yo todavía no había probado.

Permítanme ilustrar:

\begin{align} \vec{v}\cdot\vec{w} &=(v_x\widehat{\imath}+v_y\widehat{\jmath})\cdot(w_x\widehat{\imath}+w_y\widehat{\jmath})\\ &=v_xw_x\widehat\imath\cdot\widehat\imath+v_yw_y\widehat\jmath\cdot\widehat\jmath+v_xw_y\widehat\imath\cdot\widehat\jmath+v_yw_x\widehat\jmath\cdot\widehat\imath\\ &=v_xw_x+v_yw_y\end{align}

Así que, ahora me he quedado preguntando: fue el producto escalar definido arbitrariamente como $(2)$ $(1)$ derivados, viceversa, ninguno de los dos, o qué? La matemática es bastante divertido, aunque.

Gracias, por adelantado, para que usted la consideración y el amor de las matemáticas!

Answer 1

A veces para entender un concepto matemático es útil empezar por el final del cálculo y trabajar su camino de regreso al principio. El fin en este caso es el hecho de que cuando dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero. Intenta convencerse de que ambas fórmulas que se dio en su pregunta tiene esta propiedad.

Por ejemplo, cuando usted tiene un par de vectores unitarios $(a,b)$$(c,d)$, la primera fórmula le dará $ac+bd$ que será igual a cero si $b=-c$ $d=a$ por ejemplo, correspondientes al conocido hecho de que los vectores $(x,y)$ $(-y,x)$ en el plano son perpendiculares.

Dos arbitraria de la unidad de vectores puede ser escrita en la forma$(\cos \alpha, \sin\alpha)$$(\cos\beta,\sin\beta)$. A continuación, la relación que usted menciona de la siguiente manera a partir de la adición (o más precisamente, la resta) fórmula para el coseno.

Si usted está familiarizado con la forma polar de los números complejos hay una forma más elegante de cálculo que uno puede escribir.

Answer 2

La intuición de fondo es que una de 2 dimensiones subespacio de $R^n$ ( $n\geq2$ ) debe ser geométricamente idénticos a $R^2$. La distancia de$x=(x_1,...,x_n)$$y=(y_1,...,y_n)$$\|x-y\|=(\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2)^{1/2}$. Considere un triángulo con vértices en a $x, y$, y el origen $0$, $x\ne 0\ne y $ $x\ne k y$ real $k$. Las longitudes de los lados del triángulo son a$\|x\|, \|y\|,$$\|x-y\|$. El coseno del triángulo de la ley muestra que el ángulo de $\theta=$"x0y" satisface $\cos \theta= \frac {x\cdot y}{\|x\|\|y\|}$ donde $x\cdot y $ es el valor de Def n (1).