Distribuya 12 bolas en 5 cajas.

Question

Si hay 12 bolas, 3 rojas, 3 verdes, 3 negras y 3 blancas. ¿De cuántas maneras podemos distribuir estas bolas en 5 cajas de manera que cada caja contenga exactamente una bola?

Estaba pensando en hacer esto por casos.

Caso 1 : 3 cajas contienen un color (por ejemplo rojo). las otras dos cajas contienen otro color (por ejemplo blanco).

Habría ${4 \choose 1}{5 \choose 3}{3 \choose 1}$ muchas maneras para este caso.

Caso 2 : Tres cajas contienen un solo color (por ejemplo, rojo). Una caja contiene otro color diferente (por ejemplo, blanco) y la última caja otro color diferente (por ejemplo, negro).

Habría ${4 \choose 1}{5 \choose 3}{3 \choose 1}{2 \choose 1}{2 \choose 1}$ muchas maneras para este caso.

Caso 3 : Dos cajas contienen un solo color (por ejemplo, rojo). Otras dos contienen un color diferente. La última contiene un color diferente.

habría ${4 \choose 1}{5 \choose 2}{3 \choose 1}{3 \choose 2}{2 \choose 1}$ muchas maneras para este caso.

Caso 4 : Dos cajas contienen un solo color (por ejemplo, rojo). Otra contiene un color diferente. Otra contiene un color diferente. La última contiene un color diferente.

habría ${4 \choose 1}{5 \choose 2}{3 \choose 1}{3 \choose 1}{2 \choose 1}{2 \choose 1}{1 \choose 1}{1 \choose 1}$ .

La suma de todos ellos daría la respuesta.

¿Es esto correcto? Si no es así, ¿qué me falta y cómo puedo arreglar esta solución?

Answer 1

Hay que enumerar todo el caso (como hiciste yo encuentro el mismo que el tuyo).

Caso 1 : (2,3) 3 cajas con 1 color y 2 cajas con otro color.

Caso 2 : (1,1,3) 3 cajas con 1 color, 1 caja con otro color y otra 1 caja con otro color.

Caso 3 : (1,2,2)...

Caso 4 : (1,1,1,2)...

Ahora, ¿cuántas opciones tengo en cada caso (aquí me salen cálculos diferentes)?

Para el caso 1, elijo un color para los tres y otro para los dos. Es decir:

$${5 \choose 1}{4 \choose 1}=20 $$

Para el caso 2, elijo un color para las tres y luego dos colores para las cajas restantes. Es decir:

$${5 \choose 1}{4 \choose 2}=30$$

Para el caso 3, elijo dos colores para los dos pares de cajas y luego un color para la caja restante. Es decir :

$${5 \choose 2}{3 \choose 1}=30$$

Para el caso 3, elijo un color para dos cajas y luego tres colores para las tres cajas restantes. Es decir:

$${5 \choose 1}{4 \choose 3}=20$$

En total tengo 80 formas de hacer esto. Aquí asumí que las cajas estaban sin etiquetar.

Si quisiera resumir los argumentos que he utilizado, primero se reduce a algunos casos. Luego para calcular toda la forma de distribuir las bolas de colores basta con elegir un color para cada conjunto de cajas que se supone que están coloreadas de la misma manera.

Answer 2

De su manejo de los casos me ha dado la impresión de que las cajas están etiquetadas, al igual que los colores, pero las bolas del mismo color son indistinguibles.

Si hubiera suficientes bolas de todos los colores podríamos asignar un color a cada una de las casillas. Esto se puede hacer en $4^5=1024$ formas.

Pero las asignaciones en las que se elige algún color $\geq4$ tiempos están prohibidos. Hay $4$ las asignaciones fueron del mismo color para las cinco casillas. Hay $60$ asignaciones en las que se elige el mismo color para cuatro casillas: Podemos elegir este color de cuatro maneras, luego podemos elegir el segundo color utilizado en $3$ maneras, y podemos elegir la caja desviada en $5$ formas.

En total hay $1024-4-60=960$ asignaciones admisibles.