Problema con la asignación relativa $c_{0}$

Question

Muestran que la asignación de $$ \Phi: \ell^{1}\rightarrow \mathcal{L}(c_{0};\mathbb{K}), \phantom{x} \Phi_{ x}(y):=\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}y_{n}$$ está bien definido y un isomorfismo isométrico.

Actualizado mi respuesta:

El funcional

$$ x \mapsto \sum_{n=1}^{\infty}x_{n}y_{n} $$

es acotado, ya que

\begin{align*} |\Phi_{x}(y)| &= \left|\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}y_{n} \right|\leq \sum_{n=1}^{\infty} |x_{n}y_{n}| = \sum_{n=1}^{\infty} |x_{n}||y_{n}| \\ &\leq \|y\|_{\infty}\|x\|_{1}. \end{align*}

Debido a que el funcional es la delimitada por $\|x\|_{\infty}$, la asignación de

$$ \Phi: \ell^{1}\rightarrow \mathcal{L}(c_{0};\mathbb{K}),$$ definido por $$y\mapsto\left( x \mapsto \sum_{n=1}^{\infty}x_{n}y_{n} \right)$$

está bien definido. (Pregunta 1. Es esto correcto?)

Tenga en cuenta que si $|x_{j}|=\|x\|_{\infty}$ y si tomamos $y_{j}=e_{j}$ donde $e_{j}$ $j$- ésimo vector unitario, entonces $|\Phi_{x}(e_{j}) |=1$. Así

$$\|\Phi f\|_{\mathcal{L}(c_{0};\mathbb{K})}=\|f\|_{\ell^{1}} \phantom{x}\mathrm{for}\phantom{x}\mathrm{all}\phantom{x}f\in \ell^{1} .$$

(Pregunta 2. Es esto correcto o estoy en el camino equivocado, es que hay una mejor manera de mostrar esto? )

Pretendemos que $\Phi$ es también surjective y por lo tanto es un isomorfismo isométrico. Si $\phi$ es funcional en $c_{0}$ nos deja denotar $\phi(e_{j})$$x_{j}$. Entonces

$$\phi_{x}(y) = \sum_{n=1}^{\infty}\phi(e_{n})y_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\phi(y_{n}e_{n})=\phi(y),$$

(la última igualdad se mantiene debido a $\sum_{n=1}^{\infty}y_{n}e_{n}$ converge a $y$ $c_{0}$ $\phi$ es continua en a $c_{0}$) (Pregunta 3. Es correcto esto y cómo puedo demostrar mi convergencia argumento?)

por lo $\Phi(x)=\phi$.

(Pregunta 4. Luchando por la mayoría de esta parte. Es lo que he hecho correcto, he mostró realmente que $\mathrm{ran}(\Phi)=\mathcal{L}(c_{0};\mathbb{K})$ o es que hay una mejor manera de mostrar esto? )

Answer 1

Varios comentarios en tus argumentos:

1. Se cambiaron los roles de $x$ $y$ en su discusión como se opuso a la declaración del problema. Que induce a la confusión.

2. En la prueba de $\|\Phi f\|_{\mathcal{L}(c_{0};\mathbb{K})}=\|f\|_{\ell^{1}} $ no está claro a qué te refieres con "$y_j=e_j$". Se le mezcla con las entradas de los vectores? O están ahora usando la notación $y_j$ para denotar una secuencia de elementos en $c_0$? El último es el que usted desea, pero su elección de elementos de la secuencia deben ser aquellos con su primer $j$ entradas igual a $1$ (modulo de una fase, porque desea que los valores absolutos de las entradas de $x$) y el resto igual a $0$; de esa manera, cuando se aplica $\phi x$ a se obtiene la suma de las primeras entradas de $x$.

3. Para el surjectivity, tu idea es correcta, pero tienes que sostienen que la secuencia de $(\varphi(e_j))_j$ $\ell^1$ a garantizar que tiene sentido aplicar $\Phi$.