Existen m, n y r los puntos en 3 paralelos (líneas diferentes). Suponiendo que cuando se toma un punto de cada línea nunca están alineados. ¿Cuántos triángulos se pueden formar por esos puntos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?(para los efectos de esta respuesta voy a suponer que la orientación no es importante, es decir, el triángulo xyz es el mismo que el triángulo xyz)
La etiqueta de las líneas $A$, $B$, y $C$, con puntos a lo largo de cada uno como $a_1,a_2,\dots,a_m$, $b_1,b_2,\dots,b_n$, y $c_1,c_2,\dots,c_r$.
De acuerdo a la declaración del problema, para cada $i,j,k$ $a_i,b_j,c_k$ no colinear.
Lo que constituye una cantidad suficiente de información para formar un triángulo? Cualquiera de los tres puntos de la $(m+n+r)$ total de puntos se define un único triángulo , a menos que se colinear. La única manera que podría ser colinear sin embargo, es que todos ellos se encuentran en la misma línea.
Así. De cuántas maneras existen para elegir 3 puntos (con orden de importancia)?
- Hay $m+n+r$ total de puntos, y queremos elegir 3 de ellos.
- $\binom{m+n+r}{3}$
Cómo muchos de estos grupos de 3 puntos en el hecho de colinear?
- Cualquiera de los tres vienen de la línea de $A$, los tres vienen de la línea de $B$, o todos los tres vienen de la línea de $C$
- $\binom{m}{3} + \binom{n}{3} + \binom{r}{3}$
Para un total de:
$$\binom{m+n+r}{3} - \binom{m}{3}-\binom{n}{3}-\binom{r}{3}$$