He escuchado de varias fuentes que el típico de las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división, racional exponenciación) no son suficientes para expresar, en general, las raíces de un quintic polinomio. Esto es debido a algo a lo largo de las líneas de su incapacidad para "expresar la necesaria simetrías."
Sería posible introducir nuevas operaciones aritméticas que permiten hacer "expresa la necesaria simetrías" y por lo tanto permiten una quintic fórmula para ser escrito?
Usted puede inventar su propia notación: decir $r(a,b,c,d,e;n)$ $n^\mathrm{th}$ más pequeño raíz de la quintic con coeficientes de $a, b, c, d, e$. Usted puede objetar que esto es una especie de "cop-out", y estaríamos en lo cierto, pero también es básicamente lo que hacemos con cuadráticas. Nos emocionamos cuando nos enteramos de que podemos "resolver" $x^2 = 2$ escrito $x = \sqrt 2$, pero todo lo que he hecho es decir que "la solución a $x^2 = 2$ es un número que, cuando se eleva al cuadrado, da $2$". Que no es tan perspicaz.
Lo interesante acerca de la $\sqrt a$ es que una vez que podemos "resolver" ecuaciones como $x^2 - a = 0$ nos encontramos con que no tenemos nada nuevo para solucionar $ax^2 + bx + c = 0$ – podemos transformar todas esas ecuaciones en la forma más simple. Además, podemos desarrollar métodos de razonamiento con estas soluciones, de manera que, por ejemplo, $\sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{xy}$ y así sucesivamente (pero tenga en cuenta que no hay realmente mucho que decir acerca de $\sqrt 2 + \sqrt 3$, por ejemplo). No podemos por lo tanto decir "estas son las soluciones de esta ecuación", sino "esto es una relación entre las soluciones de esta ecuación y esto otro", y que es algo que lleva genuino trabajo en matemáticas y comprensión.
De todos modos, suena como Julián respuesta es bastante más de lo que quería, pero he pensado que me gustaría ofrecer algunos de color adicionales.
Sí, se trata de una operación que se llama una radical: http://en.wikipedia.org/wiki/Bring_radical
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