Si una de las esquinas es primo, a continuación, divide sus dos vecinos por supuesto que no son coprime, por lo que sus dos vecinos comparten un común divisor cual no está permitido. Del mismo modo, un rincón no puede ser la potencia de un primo. Esto significa que cada esquina, cuando se escribe como un producto de números primos, debe tener dos primos divisores.
Considere dos esquinas opuestas $a$$b$. Escribir $a=\lambda_1 p_1p_2$ $b=\mu_1 p_3p_4$ cuando la $p_i$ son principales y distintos. También pueden ser elegidos de forma que $p_1,p_3|c$ $p_2,p_4|d$ donde $c$ $d$ el resto de par de esquinas opuestas. Esto nos permite escribir $c=\lambda_2 p_1p_3$$d=\mu_2p_2p_4$. Es fácil especificar las condiciones en $\lambda _i$$\mu_i$, de modo que esta es una solución, pero no es necesario, ya que podemos notar que la elección de $a'=p_1p_2$ etc. produce una solución con una suma menor.
Así que esto es ahora reducido a los casos en que $p_1,p_2,p_3,p_4$ son distintos y las esquinas son cada uno de un producto de un par de estos números primos. Esto significa que su suma es $a'+b'+c'+d'=p_1p_2+p_3p_4+p_1p_3+p_2p_4=(p_1+p_4)(p_2+p_3)$, y desde cualquier opción de 4 distintos números primos será suficiente, podemos elegir los más pequeños: $2,3,5,7$.
Que ahora existen 3 posibilidades para comprobar! El resto voy a dejar a usted.
$(2+3)(5+7)=60$
$(2+5)(3+7)=70$
$(2+7)(3+5)=72$
Esto significa que la suma más pequeña es
60, con los números 10, 21, 15, 14
