Me gustaría expresar el producto $$ \left( \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k \sin(k t) \right) \left( \sum_{k \in \mathbb{Z}} b_k \cos(k t) \right) $$ como $$ \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k \sin(k t). $$ Pregunta : ¿Cómo puedo expresar los coeficientes $c_k$ como funciones de $a_k$$b_k$ ? Sé que cuando la multiplicación de dos $\cos$ serie, por ejemplo, el $c_k$ son estándar convolución de productos. Creo que el uso de exponenciales complejas, Cauchy productos y las fórmulas para los coeficientes de Fourier puede ser útil, pero no acabo de ver cómo proceder.
Respuesta
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Vamos a suponer sin pérdida de generalidad que el de los índices para la sinusoidal de la serie son positivos y los de el coseno series son no-negativos:
$$x(t)=\sum_{k=1}^{\infty}a_k\sin(kt),\quad y(t)=\sum_{k=0}^{\infty}b_k\cos(kt)$$
Reescribir $x(t)$
$$x(t)=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}a_k(e^{tic'}-e^{-ikt})= \frac{1}{2i}\left(\sum_{k=1}^{\infty}a_ke^{ikt}-\sum_{k=-\infty}^{-1}a_{-k}e^{ikt}\right)=\\=\sum_{k=-\infty}^{\infty}d_ke^{ikt},\quad d_k=\begin{cases}\frac{a_k}{2i},&k>0\\0,&k=0\\-\frac{a_{-k}}{2i},&k<0\end{casos}$$
Tenga en cuenta que los coeficientes de $d_k$ son puramente imaginarios y satisfacer $d_k=-d_{-k}$. Completamente de forma análoga, podemos escribir la $y(t)$
$$y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f_ke^{ikt},\quad f_k=\begin{cases}\frac{b_k}{2},&k>0\\b_0,&k=0\\\frac{b_{-k}}{2},&k<0\end{cases}$$
Ahora podemos expresar $z(t)=x(t)y(t)$
$$z(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}g_ke^{ikt}$$
con
$$g_k=\sum_{n=-\infty}^{\infty}d_nf_{k-n}$$
Tenga en cuenta que $g_k$ es puramente imaginario y satisface $g_k=-g_{-k}$$g_0=0$. Así que podemos reescribir $z(t)$
$$z(t)=\sum_{k=1}^{\infty}(g_ke^{ikt}+g_{-k}e^{-ikt})=\sum_{k=1}^{\infty}g_k(e^{ikt}-e^{-ikt})=2i\sum_{k=1}^{\infty}g_k\sin(kt)$$
Tenga en cuenta que el final de los coeficientes de $2ig_k$ son de curso con un valor real.
