resolución parcial de elipse de 5 puntos

Question

A partir de 5 puntos en una elipse puedo conseguir la elipse características (en el centro, radios, ángulo) mediante la resolución de una $5\times5$ (sistema de la elipse de ecuación aplicada en cada punto).

Pero esto es costoso cuando se llama millones de veces por segundo, además en mi caso yo sólo quiero el de la elipse de centro. - >¿Hay una manera más barata de conseguir la elipse de centro (bien geométrica, algebraica o numérica), sin la solución de la total $5\times5$ sistema ?

PD: por ahora (véase la parte final de aquí) estoy utilizando un proceso iterativo de búsqueda de soluciones a los más distantes 2 puntos, es decir, el eje principal, y tomando la media. Pero es todavía costoso, y, por supuesto, poco elegante.

EDIT 1: si ayuda, yo también podría proporcionar las tangentes en los puntos.

EDIT 2: tenga en cuenta que el pleno de la elipse de ecuación no es una forma cuadrática (ya que no centrada en (0,0)).

Answer 1

Aquí es cómo puedo calcular una cónica sin $5\times5$ ecuaciones, basadas en mi experiencia en la geometría proyectiva.

Encontrar la matriz

Empezar con coordenadas homogéneas, es decir, tiene cinco puntos

$$ A=\begin{pmatrix}A_x\\A_y\\1\end{pmatrix} \qquad\cdots\qquad E=\begin{pmatrix}E_x\\E_y\\1\end{pmatrix} $$

Ahora un punto de $P$ se encuentra en la cónica con estos cinco puntos iff

$$[A,C,E][B,D,E][A,D,P][B,C,P] - [A,D,E][B,C,E][A,C,P][B,D,P] = 0$$

donde puedo usar $[\cdot,\cdot,\cdot]$ para denotar un factor determinante. Ahora usted puede saber que usted puede escribir un $3\times3$ matriz como una triple producto, por ejemplo,

$$[A,D,P] = \langle A\times D,P\rangle$$

Combinar dos de estos y tiene una forma cuadrática con un rango de 1 matriz en el centro:

$$[A,D,P][B,C,P] = \langle P,\veces D\rangle\cdot\langle B\times C,P\rangle = P^T\cdot (\veces D)\cdot(B\veces C)^T\cdot P$$

Así que la ecuación original se reduce a $P^TMP=0$, utilizando la siguiente matriz:

\begin{align*} M &=\phantom+ [A,C,E][B,D,E]\cdot(A\times D)\cdot(B\times C)^T \\ &\phantom=- [A,D,E][B,C,E]\cdot(A\times C)\cdot(B\times D)^T \end{align*}

Probablemente debería symmetrize su resultado final, como el bien, es decir, calcular $M+M^T$.

Así que usted tiene que calcular cuatro determinantes, cruz de cuatro productos, dos de exterior, productos, dos escalares veces productos de matriz, una matriz de la resta y una suma de la matriz. Pero todos los vectores y matrices se $3\times 3$ solamente, y nunca pivote, nunca tiene que hacer ningún caso de las distinciones. Si usted trabaja con la homogeneidad de las coordenadas a través de los representantes mencionados, muchos números en sus cálculos será igual a $1$, el cual puede ser usado para simplificar aún más la implementación.

Usted puede notar que los factores determinantes en la parte izquierda de cada línea son sólo $E$ enchufado a la forma cuadrática se obtiene de la parte derecha de la otra línea. Así que si la evaluación de la formas cuadráticas es más fácil para usted que la informática determinantes, seguir adelante y volver a utilizar las matrices que se necesita para el lado derecho, en cualquier caso.

Encontrar el centro

Ahora desea que el centro de la bestia. El centro es el polo de la línea en el infinito. Para eso se necesita el doble de la matriz, que de manera algebraica es más barato para calcular utilizando la clásica adjunto. Multiplicar la matriz por $(0,0,1)$ y tiene la homogeneidad de las coordenadas del centro. Dividir las dos primeras coordenadas por la tercera para volver a coordenadas no homogéneas.