Mientras que la respuesta ya está dada, es básicamente correcto, me gustaría añadir un par de observaciones.
Su punto de partida $${n \choose 2} = 17.5 + (n-4)k$$es correcta.
A partir de esto, podemos deducir un par de cosas.
Primero de todo, para todos los $n \in \mathbb N$, el resultado de ${n \choose 2}$$\mathbb N$, y así debería ser $ 17.5 + (n-4)k$.
Desde $k$ que se anota en la mitad de los puntos, esto significa que $2k \in \mathbb N$. Pero como $n \in \mathbb N$, $k$ que debe suministrar ese $0.5$ a fin de que el resultado de la mano derecha de un número natural. Esto significa que $k \notin \mathbb N$ $2k$ es impar, o si se prefiere, $k \in\mathbb Q \ |\ 2k=2m-1, m \in \mathbb N$.
Ahora también podemos deducir que $n$ es impar, ya que tenemos una extraña veces $k$ a conseguir ese $0.5$ necesitamos.
Así que el club de ajedrez tiene un número impar de miembros, que han desempeñado un número impar de sorteos (excepto para los cuatro juniors).
Estamos listos ahora para resolver la ecuación se dio.
$$\begin{align}
{n \choose 2} & = 17.5 + (n-4) \cdot k \\
\frac{n(n-1)}{2} & = 17.5 + (n-4) \cdot k \\
n^2 - n & = 35 + (n-4) \cdot 2k \\
\frac{n^2 - n - 35}{n-4} & = 2k \\
\frac{(n-4)(n+3) - 23}{n-4} & = 2k \\
n + 3 - \frac{23}{n-4} & = 2k \\
\end{align}$$ with $2k$ and $$ n que se extraña, como se indicó anteriormente.
Por lo tanto, $n-4 = 1\vee n-4=23$. Si $n-4=1$$n=5$. Sin embargo, ${n \choose 2} > 17.5$. Desde ${5 \choose 2} \ngtr 17.5$, la única opción que queda es $n-4 = 23 \iff n=27$.
Esto a su vez da $k=14.5$.
