Cómo probar que $z\cdot\text{gcd}(a,b)=\text{gcd}(za,zb)$

Question

Necesito demostrar que $z \cdot \text{gcd}(a,b)=\text{gcd}(za,zb)$. He intentado mucho, por ejemplo, mirando el conjunto de divisores comunes de los dos lados, pero no puedo concluir nada de eso. Por favor me puede dar algún consejo ¿cómo puedo manejar este problema? Y $a,b,z \in \mathbb{Z}$.

Answer 1

A continuación hay algunas pruebas de que el mcd distributiva de la ley de $\rm\:(ax,bx) = (a,b)x\:$ utilizando la identidad de Bezout, universal mcd leyes, y la única factorización. En cada prueba de la primera línea sirve como una sugerencia.

---

En primer lugar mostramos que el mcd distributiva de la ley se sigue inmediatamente del hecho de que, por Bezout, el mcd se puede especificar por medio de ecuaciones lineales. La distributividad de la siguiente manera porque tales ecuaciones lineales son preservadas por los cambios de escala. Es decir, para los naturales de $\rm\:a,b,c,x \ne 0$

$\rm\qquad\qquad \phantom{ \iff }\ \ \ \:\! c = (a,b) $

$\rm\qquad\qquad \iff\ \: c\:\ |\ \:a,\:b\ \ \ \ \ \ \&\ \ \ \ c\ =\ na\: +\: kb,\ \ \ $ $\rm\:n,k\in \mathbb Z$

$\rm\qquad\qquad \iff\ cx\ |\ ax,bx\ \ \ \&\ \ \ cx = nax + kbx,\ \,$ $\rm\:n,k\in \mathbb Z$

$\rm\qquad\qquad { \iff }\ \ cx = (ax,bx) $

El lector familiarizado con los ideales se nota que estas equivalencias son capturados de forma más concisa en la ley distributiva para el ideal de la multiplicación $\rm\:(a,b)(x) = (ax,bx),\:$ cuando se interpreta en un PID o Bezout de dominio, donde el ideal $\rm\:(a,b) = (c)\iff c = gcd(a,b)$

---

Como alternativa, más en general, en cualquier parte integral de dominio $\rm\:D\:$ podemos emplear el universal definiciones de MCD, MCM para generalizar la anterior prueba.

Teorema $\rm\ \ (a,b)\ =\ (ax,bx)/x\ \ $ si $\rm\ (ax,bx)\ $ existe en $\rm\:D.$

Prueba de $\rm\quad\: c\ |\ a,b \iff cx\ |\ ax,bx \iff cx\ |\ (ax,bx) \iff c\ |\ (ax,bx)/x\ \ \ $ QED

Tales universal definiciones, a menudo, sirven para simplificar las pruebas, por ejemplo, véase esta la prueba de que el MCD * LCM ley.

---

Alternativamente, la comparación de potencias de números primos en el único factorizations, se reduce a la siguiente $$ \min(a+c,\,b+c)\ =\ \min(a,b) + c$$

La prueba de ello es precisamente el mismo que el antes de la prueba, en sustitución de dpc por min, y se divide por $\le$, y

$$\begin{eqnarray} {\rm employing}\quad\ c\le a,b&\iff& c\le \min(a,b)\quad&&\rm[universal\ definition\ of\ \ min]\\ \rm the\ analog\ of\quad\ c\ \, |\, \ a,b&\iff&\rm c\ \ |\ \ gcd(a,b)\quad&&\rm[universal\ definition\ of\ \ gcd] \end{eqnarray}$$

Answer 2

Escribir $a=da'$, $b=db'$ con $\gcd(a',b')=1$. Entonces $za=(zd)a'$, $zb=(zd)b'$ con $\gcd(a',b')=1$. Esto significa que $zd=\gcd(za,zb)$.

Estoy usando aquí la siguiente caracterización de $\gcd(a,b)$:

$d=\gcd(a,b)$ fib $a=da'$, $b=db'$ con $\gcd(a',b')=1$.

He aquí una prueba.

Si $d=\gcd(a,b)$ $d$ es un divisor común de a $a$ $b$ y se puede escribir $a=da'$, $b=db'$. Si $d'=\gcd(a',b')$, $dd'$ también es un divisor común de a$a$$b$. Desde $d$ es el máximo común divisor, tenemos $d=dd'$, lo que implica $d'=1$.

Por el contrario, si $a=da'$, $b=db'$ con $\gcd(a',b')=1$ $d$ es un divisor común de a$a$$b$. Por otra parte, cada primer divisor común de a $a$ $b$ debe dividir $d$, por lo que cada divisor común de a $a$ $b$ divide $d$, lo que implica $d=\gcd(a,b)$.

Answer 3

Utilizar esta caracterización: $d=\gcd(a,b) \iff [(s|a,\ s|b ) \Rightarrow d|s]$.