Si sabemos que $\gcd(a,b)=12$ y $\operatorname{lcm}(a,b)=360$, ¿cómo podemos encontrar todos los pares desordenados $a,b$?
La respuesta en la parte posterior del libro consegui esto de da $(12,360), (24,180), (36,120), (60,72)$ como las soluciones.
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19982
A la hora de resolver este tipo de preguntas, es mejor pensar en términos de primer factorizations en lugar de enteros. Así que empezamos por el primer-factorización de $360$$12$: \begin{align*} 360 &= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \\ 12 &= 2^2 \cdot 3^1 \end{align*} $a$ $b$ debe dividir $360$, ya que el $360$ es la LCM, por lo que no puede tener factores primos distintos de $2, 3, 5$. Así \begin{align*} a &= 2^x 3^y 5^z \\ b &= 2^{x'} 3^{y'} 5^{z'} \end{align*} Ahora, a partir de MCM y MCD de ser $360$$12$, obtenemos \begin{align*} \text{max}(x,x') = 3, \text{min}(x,x') = 2 \implies \{x,x'\} = \{2,3\} \\ \text{max}(y,y') = 2, \text{min}(x,x') = 1 \implies \{y,y'\} = \{1,2\} \\ \text{max}(z,z') = 1, \text{min}(z,z') = 0 \implies \{z,z'\} = \{0,1\} \\ \end{align*} Así que para escribir todas las posibilidades, sólo tenemos que asignar $2$ $3$ $x$y $x'$, $1$ y $2$$y$$y'$, e $0$$1$$z$$z'$. Desde sólo queremos desordenada de posibilidades, podemos comenzar tomando $z = 0$, $z' = 1$. Así que todos los desordenada de posibilidades para $(a,b)$ son, como usted escribió: \begin{align*} (2^2 3^1, 2^3 3^2 5^1) &= (12, 360) \\ (2^3 3^1, 2^2 3^2 5^1) &= (24, 180) \\ (2^2 3^2, 2^3 3^1 5^1) &= (36, 120) \\ (2^3 3^2, 2^2 3^1 5^1) &= (72, 60). \\ \end{align*}
zarathustra
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3302
El problema es equivalente a encontrar todos los pares $(a,b)$$gcd(a,b)=1$$lcm(a,b)=30$. En efecto, dado un par, $(12a,12b)$ satisface sus necesidades y, por el contrario, si tiene una pareja que responda a sus condiciones, a continuación, $(\frac{a}{12},\frac{b}{12})$ satisface la condición actual. Escribir $30$$2\times 3\times 5$. Ahora las tuplas $(a,b)$ satisfacer la condición en bijection con las particiones de $\{2,3,5\}$ en dos partes. Esto es debido a que $a,b$ no comparten un factor común, y su mínimo común múltiplo cuenta todos los factores de $30$. Así que usted decide cuales son los factores primos de a $a$, y, a continuación, $b$ tiene que tomar todo el resto.
Por ejemplo, tomar $a=2\times 5$, $b=3$, esto le da a la par de $(10,3)$, y para conseguir una de las tuplas en su pregunta se multiplica por $12$ y consigue $(120,36)$.
laleh8798
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16
Usar el hecho de que el producto de dos números $a$ y $b$ es el mismo que el producto del MCD $(a,b)$y lcm $(a,b)$. Tan mirando factorizaciones alternativa debería conducir a la respuesta.
Aquí se nos da $12$ y $360$. $360$ $k$ Factor de dividir y multiplicar $12$ por eso mismo $k$. Es $a=360/k, b=12k$ varios divisores $k$ de 360.
Steven Gregory
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3326
Si $\gcd(a,b) = 12$ y $12 \mid a$ y $12 \mid b$. Por lo tanto, $\dfrac{a}{12}$ y $\dfrac{b}{12}$ son números enteros y $\gcd\left( \dfrac{a}{12}, \dfrac{b}{12} \right) = 1$. Por lo tanto...
\begin{align} ab &= \gcd(a,b) \times \operatorname{lcm}(a,b) \ ab &= 12 \times 360 \ \dfrac{a}{12} \dfrac{b}{12} &= \dfrac{360}{12} \ \dfrac{a}{12} \dfrac{b}{12} &= 30 \ \end {Alinee el}
Así que si buscas desordenados pares, $\left(\dfrac{a}{12}, \dfrac{b}{12} \right) \in \ {(1,30), la (2.15), (3,10), (5,6) } $
Tenga en cuenta que el % de condición $\gcd\left( \dfrac{a}{12}, \dfrac{b}{12} \right) = 1$ha sido satisfecho en cada caso.
Así, $(a,b) \in { (12,360), (24,180), (36,120), (60, 72)}$
goe
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Creo que saben l.c.m x h.c.f=product de números, en su caso l.c.m x h.c.f = 360 x 12 = axb nota que ninguno de a y b puede ser menor que 12 ya que es h.c.f ahora lo único que tienes que hacer es resolver 360 x 12 en dos factores. usted encontrará que estas formas son (12 x 360), (24 x 180), (36 x 120) y (60 x 72). los otros serán excluidos (por ejemplo, 48 x 90) porque uno de ellos no es divisible b 12 que es esperanza de h.c.f. que recibes mi mensaje, si cualquier problema con solución deja comentario
