Demostrar que $x^3 + x^3 y^2 + x^2 y^3 + x^2 + y^2 + y^3 \geq 2xy(x+y+xy)$ for $x,y \in \mathbb{R}^+$.
Empecé multiplicando todo en el lado derecho para obtener la declaración equivalente \begin{align*} x^3 + x^3 y^2 + x^2 y^3 + x^2 + y^2 + y^3 \geq 2 x^2 y + 2 x y^2 + 2 x^2 y^2. \end{align*}
He tratado de muchas maneras de atacar este problema, pero no he tenido mucha suerte todavía. Lo más cercano que parecen haber sido capaces de conseguir es el uso de la identidad de $(x-y)^2\geq 0$ a deducir que \begin{align*} x^3+x^3y^2\geq x^3+xy^2=x(x^2+y^2)\geq 2x^2y, \end{align*} y del mismo modo, \begin{align*} y^3x^2+y^3\geq x^2y+y^3=y(x^2+y^2)\geq 2xy^2. \end{align*}
Pero ahora me he quedado con la necesidad de demostrar que $x^2+y^2\geq 2x^2y^2$, lo cual es obviamente falso para $x,y \in \mathbb{R}^+$. Estoy pensando que le estoy dando demasiado tratando de hacer que la identidad de $(x-y)^2\geq 0$ trabajo para este problema.
También traté de escribir todo como un polinomio en $x$ y demostrar que el polinomio resultante es positivo para $x>0$, pero esto se vuelve muy desordenado. ¿Alguien tiene alguna idea? Gracias de antemano!
