Casé pregunté para mostrar que $[0,1]\times[0,1)$ es homeomorfa a $[0,1)\times[0,1)$ con la topología producto, pero tengo problemas para entender por qué eso no es falso. $[0,1]$ $[0,1)$ no es está obviamente compacto. ¿Yo no estoy aquí?
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ManuelSchneid3r
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Un rápido calentamiento: ¿cómo puede ser que $A\times B\cong C\times B$, incluso cuando se $A\not\cong C$?
El ejemplo más sencillo es el siguiente: considere la posibilidad de $A=\{a\}$, $C=\{c, d\}$ con la topología discreta, y que $B=\mathbb{N}$ con la topología discreta. Por lo $A$ $C$ consisten de uno y de dos no relacionados puntos, respectivamente, y $B$ es sólo una gota de la relación de puntos.
Entonces, es fácil ver que $A\times B\cong C\times B$ - de hecho, ambos son homeomórficos a $B$ sí! Esto sólo se reduce a la aritmética con infinitos: el doble de un conjunto infinito no es más grande que el original conjunto infinito.
Ahora sobre tu pregunta. Como sucede, hay una bonita imagen intuitiva de por qué estos dos espacios son los mismos:
Imagen $A=[0, 1)\times [0, 1)$ como un cuadrado con los bordes superior e izquierdo de la negrita (= parte del espacio), y los bordes inferior y derecho de guiones (= no forma parte del espacio); del mismo modo, la imagen $B=[0, 1]\times [0, 1)$ como un cuadrado con la parte superior, izquierda y derecha bordes negrita, y el borde inferior con una línea discontinua.
Por el estiramiento de estos alrededor, podemos ver cada una en un disco, con la mitad izquierda de la frontera negrita y en la parte derecha de la demarcación de línea discontinua. Por lo que son homeomórficos.
Tenga en cuenta que por supuesto, esto no es todavía un riguroso respuesta a su pregunta, ya que no mostraron una homeomorphism (o se demostró que existe uno), sino simplemente (¡ojalá!) hizo plausible que hay uno. Toma un poco de trabajo encontrar un explícito homeomorphism que se comporta de la manera en que la imagen que se describen anteriormente, pero no es difícil y es un buen ejercicio.
