Encontrar el mayor número de piezas incluyendo ilimitada en que n planos puede dividir el espacio.
Estoy probando como este, ya que es muy difícil de visualizar (o dibujar en papel).
Ecuación del plano en el espacio 3 podría ser hacha + por + cz + d = 0. Si pudiera conseguir una ecuación para el número de regiones podía usar derivado para maximizarlo.
Llegaremos a una región cuando hacha + por + cz + d 0 en todo n planos. Soy incapaz de encontrar una ecuación para el número de regiones.
Su pregunta es equivalente a la siguiente:
¿Cuál es el mayor número de partes de un pastel (cilindro/cubo/de cualquier otra forma convexa) puede ser dividido en con n cortes rectos?
Adecuadamente estos son llamados el pastel de números de $C(n)$, y el índice A000125 en Sloane del OEIS.
La prueba de esto se inicia a partir de dos dimensiones con el perezoso abastecedor de la secuencia (A000124), las dos dimensiones equivalentes de la torta de número (con una pizza). Para lograr el máximo número de piezas $L(n)$ n de los recortes, cada nuevo corte después de la primera ($L(1)=2$) debe cruzar todos los anteriores recortes y sin intersecciones, con lo que la adición de n piezas en corte n. Es fácil ver que el número total de piezas con n los recortes es el nésimo número triangular más uno: $L(n)=\frac{n^2+n}2+1$.
Ahora ve a las tres dimensiones. Después del primer corte ($C(1)=2$), corte n cruza todos los recortes anteriores y no (triple) intersecciones; las intersecciones de los otros planos con esta última forma del corte de la división del plano en el mayor número de piezas con $n-1$ cortes. Tan corta n añade $L(n-1)$ piezas, y después de resolver el recursiva ecuación obtenemos $$C(n)=\frac{n^3+5n+6}6$$
Demasiado largo para un comentario.
Para empezar, trate de resolver el problema de $n$ líneas en el plano, en posición general (así que no hay líneas paralelas, y no ninguna de las tres líneas de reunión en un punto). Allí se puede dibujar las imágenes. Comienzan con 2, luego 3, luego 4 líneas. Usted puede ver un patrón si usted piensa acerca de lo que sucede cuando se añade una nueva línea a $n-1$ líneas ya en el lugar.
A continuación, se mueven en tres dimensiones. El uso de ideas a partir de dos dimensiones - álgebra lineal, no puede ayudar.
Este es un caso especial de una muy bien estudiada idea.
https://en.wikipedia.org/wiki/Arrangement_of_hyperplanes#Real_arrangements
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X81900029
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