Flujo geodésico en un múltiple de Riemannian no completar con curvatura positiva constante

Question

Estoy tratando de entender la geodésica de flujo en las 2 dimensiones de Riemann colector $M$. Como un conjunto, $M$ es el interior de la norma 2-simplex,

$$M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x,y>0~\text{and}~x+y<1\}.$$

La métrica de $M$ está dado por

$$ds^2=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x-y}\right)\,dx^2+2\left(\frac{1}{1-x-y}\right)\,dxdy+\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{1-x-y}\right)\,dy^2.$$

Un cálculo directo muestra que $M$'s de la curvatura Gaussiana es dada por la constante positiva $K=\frac{1}{4}$. Por lo tanto, el Asesinato de Hopf-teorema nos dice que $M$ no es geodesically completo; si lo fuera, la Matanza-Hopf, junto con la simple observación de que la $M$ es simplemente conectado, implicaría que las $M$ es isométrico a la esfera, lo cual no es cierto.

Mi pregunta tiene dos partes:

(1) Es la dimensión de la $M$'s grupo de isometría mayor que cero? Tenga en cuenta que, aunque $M$ es localmente isométrica a la esfera, con sus 3 dimensiones isometría grupo, $M$'s isometría grupo debe tener menos dimensiones de 3. Si la dimensión de $3$, $M$ sería un espacio homogéneo, y por lo tanto sería geodesically completa (imposible por la razón indicada anteriormente).

(2) se Puede encontrar un ejemplo de una geodésica que no está definido en todos los de $\mathbb{R}$? Estoy teniendo problemas para visualizar el "por qué" $M$ es no-geodesically completa. Es el problema de que ciertos geodesics puede funcionar con el simplex en tiempo finito, o es algo más?

Answer 1

Me referiré a la segunda cuestión, en la que pidió una geodésica que no está definido en todos los de $\mathbb{R}$.

Considere la curva $\gamma(t) = \left( t, t \right)$$t \in \left(0, \frac{1}{2} \right)$. Ahora, $\gamma$ no es una geodésica (porque su velocidad no es constante), pero su imagen es la imagen de una geodésica; es decir, un reparametrization de $\gamma$ es una geodésica. La razón de esto es que la imagen de $\gamma$ se encuentra en el conjunto de $\{y=x \} \subset M$, que es el punto fijo establecido para el mapa de $(x,y) \to (y,x)$, que es una isometría, como se ha mencionado en los comentarios. Punto fijo grupos de isometrías son totalmente geodésica submanifolds (ver este MSE pregunta), por lo que, en particular, el conjunto de $\{y=x\}$ es la imagen de una geodésica.

Así podríamos reajuste de parámetros $\gamma$ para obtener una geodésica $\tilde{\gamma}$ con la misma imagen, de $\tilde{\gamma}$ está parametrizado con respecto a la longitud de arco. Digamos que el máximo dominio de $\tilde{\gamma}$ es un intervalo $I \subset \mathbb{R}$, donde la longitud de $I$ es la longitud de $\tilde{\gamma}$. Si $M$ fueron geodesically completa, $I$ tendría que ser todos los de $\mathbb{R}$, lo que significa, en particular, la longitud de $\tilde{\gamma}$ sería infinito. Pero la longitud es invariante bajo reparametrizations, por lo $\gamma$ $\tilde{\gamma}$ tienen la misma longitud, y podemos calcular directamente (o al menos estimar) la longitud de la curva original $\gamma$ y demostrar que es finito.

Voy a describir brevemente el cálculo de la longitud de $\gamma$. $\gamma'(t) = \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y}$, así $$||\gamma'(t) || = \sqrt{ \frac{2}{t} + \frac{4}{1 - 2t}}$$ Sólo tenemos que mostrar que la siguiente integral impropia converge, es decir, es finito: $$\int_0^{1/2} \sqrt{ \frac{2}{t} + \frac{4}{1 - 2t}} \, dt$$ Voy a dejar los detalles para usted! (Yo no lo intente calcular exactamente, sólo estiman desde arriba.)