Los productos de fibra de colectores

Question

Deje $\mathsf{Man}$ ser la categoría de suave colectores. Denotar por $|~|$ el olvidadizo functor a $\mathsf{Top}$. Si $X \to S$ $Y \to S$ son morfismos en $\mathsf{Man}$, $X \times_S Y$ existe y $|X \times_S Y| = |X| \times_{|S|} |Y|$ por debajo de lo adecuado de las suposiciones, por ejemplo, cuando se $X \to S$ $Y \to S$ son inundaciones, derecho? Pero mi pregunta es:

Pregunta. ¿Cuál es un ejemplo claro de morfismos $X \to S$ $Y \to S$ tal que $X \times_S Y$ no existe en $\mathsf{Man}$?

Por supuesto, es no suficiente (a priori) para demostrar que $|X| \times_{|S|} |Y|$ no es un colector. Por otro lado, es fácil ver, el uso de morfismos desde el punto, de que el subyacente conjunto de $X \times_S Y$ es el producto de fibra de la base de conjuntos.

Yo también estoy interesado en las categorías relacionadas, por ejemplo topológico de colectores, de Banach o Frechet colectores. También me gustaría añadir una suave pregunta: La teoría de los colectores en realidad no sufren de la falta de la existencia de los productos de fibra, derecho? Por otro lado los productos de fibra de jugar un papel esencial en la teoría de los esquemas, que pueden ser vistos como "algebraica de los colectores". ¿Cuál es una posible razón o explicación para esta asimetría?

Answer 1

Aquí un argumento para la primera pregunta. Tome $X=Y=S=\mathbb R$ y tome $x\mapsto x^2$ para los mapas $X,Y\to S$. Como nota, el conjunto subyacente de $X\times_S Y$ es lo que usted esperaría, $\{(x,y)\mid x=\pm y\}$ (al menos hasta bijection, y entonces, sin pérdida de generalidad).

Lema: Vamos a $Z$ ser un subconjunto de a $\{(x,y)\mid x=\pm y\}$ tal que $Z$ define un suave colector $M$ en la topología usual procedentes de $X\times Y$. Entonces el subespacio de la topología inducida en $Z$ $X\times_S Y$ es lo habitual en la topología.

Prueba: Por la característica universal de $X\times_S Y$ (y el uso de morfismos desde el punto), la inclusión $M\to X\times Y$ factorises en $\mathsf{Man}$ en dos inclusiones: $$M\to X\times_S Y\to X\times Y$$ La restricción de a $Z$ continua inclusiones que podemos denotar $M\to M'\to M$. Pero esto implica $M=M'$. $\square$

En particular, aplicando el lema de tres veces, con $Z$ igual a$\{(x,y)\mid x=\pm y\}\setminus\{(0,0)\}$$\{(x,x)\mid x\in\mathbb R\}$$\{(x,-x)\mid x\in\mathbb R\}$, nos encontramos con que $X\times_S Y$ induce la topología usual en estos conjuntos. Por lo $X\times_S Y$ está conectado pero $X\times_S Y\setminus\{(0,0)\}$ tiene cuatro componentes conectados. Esto no puede suceder con suave colectores: la eliminación de un punto de un colector aumenta el número de componentes conectados a la mayoría de los $1$.

Answer 2

Con respecto a la insuficiencia de la existencia de productos de fibra y la comparación con el caso de los esquemas, el punto básico es que la intersección de objetos lisos no necesita ser suave. (La fibra de producto de $f:X \to S$ $g: Y \to S$ es la intersección de a$\Gamma_f \times Y$$X \times \Gamma_g$$X \times S \times Y = X \times Y \times S$; aquí $\Gamma$ indica el gráfico).

En la geometría algebraica nosotros "remedio" esto permitiendo que no liso variedades/esquemas, etc. Pero las posibles singularidades que pueden surgir por la intersección de variedades algebraicas son mucho más que las que puedan surgir por la intersección de submanifolds de algunas ambiente colector. Así que no es de extrañar que no es de rutina para extender la teoría de colectores para incluir singular de los objetos. Hay extensiones, tales como la teoría de los espacios estratificados, que entre otras cosas están relacionadas con las cuestiones de la transversalidad y de la manera en que se plantean al considerar las singularidades de las intersecciones. Pero la teoría de tales objetos no es, ciertamente, una rutina de extensión de la teoría de los colectores.

Una razón por la que las personas trabajan con O-un mínimo de estructuras es que estos proporcionan un ajuste que es algo cercano a la topología de colectores, mientras que ser dóciles basta con que uno puede formar pullbacks y productos de fibra y la estancia en un mundo razonable de los objetos.