Común denominador ejemplo

Question

Suponiendo que suma: %#% $ de #% cómo uno se derivan generalmente, que puede ser reescrita como: $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{k+\alpha+1} =\frac{1}{0!(\alpha+1)}-\frac{n}{1!(\alpha+2)} + \frac{n(n-1)}{2!(\alpha+3)}+\cdots+\frac{n!(-1)^n}{n!(\alpha+n+1)}$ $ tengo que derivar esta menor $$\frac{n!}{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)\cdots(\alpha+n+1)}$, tal vez $n$ pero parece que no puedo llegar a derivar generalmente todos $n=2,3,\ldots$. No creo que la inducción matemática es la manera de aquí. ¿Alguien me ayudar favor?

Answer 1

$$\begin{aligned} \sum{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{k+\alpha+1} & = \sum{k=0}^n \binom{n}{k} \int_0^1 (-1)^kx^{k+\alpha}\,{dx} \&= \int0^1 \sum{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^kx^{k+\alpha} \,{dx} \&= \int_{0}^{1}x^{\alpha}(1-x)^{n}\,{dx}\end{aligned} $$

Actualizado: Que denota la integral por $I_{(\alpha, n)}$ y una vez la integración por partes, obtenemos

\begin{aligned}I{(\alpha, n)} & = \int{0}^{1}{x^{\alpha}}{(1-x)^{n}}\;{dx} =\frac{1}{\alpha+1} \int{0}^{1}\left(x^{\alpha+1}\right)'(1-x)^{n}\;{dx} \& = \frac{1}{\alpha+1}\cdot x^{\alpha+1}{(1-x)^{n}}\bigg|{0}^{1}+\frac{n}{\alpha+1}\int{0}^{1}x^{\alpha+1}{(1-x)^{n-1}}\;{dx} \& = \frac{n}{\alpha+1}\int{0}^{1}x^{\alpha+1}{(1-x)^{n-1}}\;{dx} = \frac{n}{\alpha+1}~I_{(\alpha+1, n-1)}. \end{alineado}

Así que ahora tenemos una fórmula recursiva.

$$\displaystyle \begin{aligned} I{(\alpha, n)} & = \frac{n}{\alpha+1}~I{(\alpha+1, n-1)} \& = \frac{n}{\alpha+1} \cdot \frac{n-1}{\alpha+2}~I{(\alpha+2, n-2)} \&= \cdots \&= \frac{n(n-1)(n-2)\cdots 1}{(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+n-1)}I{(\alpha+n-1, 1)} \end{aligned} $$

$ \displaystyle I{(\alpha+n-1,1)} = \int{0}^{1}{x^{\alpha+n-1}}{(1-x)}\;{dx} = \frac{1}{(\alpha+n)(\alpha+n+1)}$ Así $$ \begin{aligned} I_{(\alpha, n)} & = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots 1}{(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+n+1)} \& = \frac{n!}{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)\cdots(\alpha+n+1)} \end{aligned} $ $

Answer 2

$$ \frac{n!}{(\alpha+1)\ldots(\alpha+n+1)}$$ is a rational function $F (\alpha) $ with simple poles at $\alpha = -1, \ldots, \alpha =-n-1$ and nowhere else, and $F(\infty) = 0$. Por lo tanto, tiene una extensión de fracción parcial de la forma $$F(\alpha) = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{c_k}{\alpha + k }$ $ ahora solo tienes que encontrar los residuos en cada polo: $c_k = \text{Res}(F(\alpha); \alpha = -k)$. Usted puede utilizar la fórmula $$ \text{Res}\left(\frac{g(z)}{z-p}; z=p\right) = g(p)$ $