Volumen del sólido que se cruza con 3 esferas

Question

Deje las siguientes tres esferas: \begin{array}{lcccl} S_1 : &(x-1)^2 &+ &y^2 &+ &z^2 &=1, \\ S_2 : &x^2 &+ &y^2 &+ &z^2 &=1, \\ S_3 : &(x+1)^2 &+ &y^2 &+ &z^2 &=1. \end {matriz}

Tengo que calcular el volumen del sólido dentro de$S_2$ y fuera de$S_1$ y$S_3$.

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¿Puede ayudarme a determinar los límites de cada integral si tengo que usar las coordenadas cilíndricas?

Answer 1

Etiquetar esto como multivariable de cálculo, lo que implica desea una doble o triple integral, pero esto se puede hacer con una sola integral.

Se incluye el siguiente diagrama en la versión original de su pregunta. Esta es la intersección de su sólido con el $xy$-llano: es decir, los gráficos de su desigualdades determinado $z=0$. (En las desigualdades, la segunda ecuación tiene menos que o igual a, mientras que los otros tienen una mayor que o igual a.) Su deseado sólido es el de rotación de la mitad superior de este diagrama acerca de la $x$-eje. Y que es el doble de la rotación de la parte superior derecha trimestre del diagrama acerca de la $x$-eje.

El límite inferior de $y$ de la parte superior derecha del trimestre en el primer cuadrante es

$$y_1=\sqrt{1-(x-1)^2}=\sqrt{2x-x^2}$$

y el límite superior es

$$y_2=\sqrt{1-x^2}$$

Y se ve fácilmente que los límites de $x$$0\le x\le \frac 12$.

A fin de utilizar la lavadora método para calcular la rotación de la parte superior derecha del trimestre sobre el $x$-eje, a continuación, haga doble que.

La respuesta es $$\begin{align} V&=2\cdot\pi\int_0^{1/2}(y_2^2-y_1^2)\,dx \\[2 ex] &=2\pi\int_0^{1/2}\left[\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2 -\left(\sqrt{2x-x^2}\right)^2\right]\,dx \\[2 ex] &=2\pi\int_0^{1/2}[1-2x]\,dx \\[2 ex] &=2\pi[x-x^2]_0^{1/2} \\[2 ex] &=2\pi\left[\left(\frac 12-\frac 14\right)-(0-0)\right] \\[2 ex] &=\frac{\pi}2 \end{align}$$

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Esta es la forma de resolver su problema con coordenadas cilíndricas.

Como en la sección anterior, queremos duplicar el volumen de la mitad derecha del sólido ($x\ge 0$) que a su vez proviene de una rotación completa de la región en el 1er cuadrante. No tenemos $0\le x\le \frac 12$. Los valores de $r$ son los valores de $y$ en el 1er cuadrante del diagrama: $\sqrt{2x-x^2}\le r\le \sqrt{1-x^2}$. Queremos una rotación completa del 1er cuadrante, por lo $0\le\theta\le 2\pi$.

Así que queremos duplicar el volumen de la mitad derecha, la integración de más de coordenadas cilíndricas.

$$\begin{align} V &= 2\iiint r\,dr\,d\theta\,dx \\[2 ex] &= 2\int_0^{1/2}\int_0^{2\pi}\int_{\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}r\,dr\,d\theta\,dx \\[2 ex] &= 2\int_0^{1/2}\int_0^{2\pi}\left[\frac 12r^2\right]_{\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\,d\theta\,dx \\[2 ex] &= 2\int_0^{1/2}\int_0^{2\pi}\frac 12\left[\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2-\left(\sqrt{2x-x^2}\right)^2 \right]\,d\theta\,dx \\[2 ex] &= \int_0^{1/2}\int_0^{2\pi}(1-2x)\,d\theta\,dx \\[2 ex] &= \int_0^{1/2}2\pi(1-2x)\,dx \\[2 ex] &=2\pi[x-x^2]_0^{1/2} \\[2 ex] &=2\pi\left[\left(\frac 12-\frac 14\right)-(0-0)\right] \\[2 ex] &=\frac{\pi}2 \end{align}$$

Usted ve que la respuesta es la misma que la de la lavadora método. De hecho, las últimas líneas son también los mismos, y mucho del trabajo es muy similar.

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Aquí es una derivación de los límites de las integrales.

Si usamos coordenadas cilíndricas, con el eje del cilindro a lo largo de la $x$-eje, nos pondremos $y^2+z^2=r^2$. Ahora podemos reescribir su "ecuaciones" y el "adentro/afuera" requisitos como tres de las desigualdades mediante$x$$r$:

$$(x-1)^2+r^2\ge 1, \quad x^2+r^2\le 1, \quad (x+1)^2+r^2\ge 1$$

Podemos ver que aquellos que son simétricas en $x$, así que echemos un vistazo a $x\ge 0$. Podemos reescribir las dos primeras desigualdades para obtener los límites de $r$, recordando que el $r$ es positivo. La primera da

$$r\ge \sqrt{2x-x^2}$$

y el segundo da

$$r\le \sqrt{1-x^2}$$

Revertir la primera desigualdad y la adición de las dos primeras, da

$$x^2+r^2+1\le (x-1)^2+r^2+1$$

lo que conduce a

$$x\le\frac 12$$

Ya dijimos $x\ge 0$, por lo que los límites en las $x$$0\le x\le \frac 12$.

No hay ninguna restricción en absoluto en $\theta$, pero no queremos repetir los puntos, por lo que podemos usar un círculo completo,$0\le\theta\le 2\pi$.

Y esos son los límites de las integrales. Tenga en cuenta que el uso de sólo $x\ge 0$ significaba que podía ignorar la tercera desigualdad.

Answer 2

Como un enfoque alternativo, si por casualidad usted conoce algunas fórmulas útiles:

El volumen en $S_2$ que está fuera de $S_1$ $S_3$ es igual al volumen de $S_2$ ( $\frac{4\pi}{3}$ ) menos el volumen de cuatro tapas, cada una de "altura" $1/2$. La expresión para un volumen de un casquete esférico de altura $h$ en una unidad de la esfera es

$$ V_\text{cap} = \frac{\pi h^2}{3}(3-h) $$

Con $h = 1/2$,$V_\text{cap} = \frac{5\pi}{24}$, por lo que el volumen deseado es

$$ V = \frac{4\pi}{3}-4 \times \frac{5\pi}{24} = \frac{\pi}{2} $$