Cómo encontrar la inversa de:
$$\cos(c)=\frac{1}{3}$$
En otras palabras, estoy tratando de resolver para c y sin una calculadora. Si es difícil o no es posible, entonces cómo se resuelven los inversos en general. Por ejemplo, digamos:
$$\cos(c)=\frac{3+1}{2\sqrt{2}}$$
cómo resolveríamos para c, que en este caso es 105
El primer paso es pararse a pensar en el propio problema. ¿Qué es el coseno? Si recuerdas, la fórmula del coseno (¿recuerdas SOHCAHTOA?) es adyacente sobre hipotenusa. Así que, con tu $\frac{1}{3}$ ejemplo, $1$ representa la longitud del lado adyacente, y $3$ representa la hipotenusa.
Es decir, la hipotenusa va a ser 3 veces más larga que el lado adyacente. Imagínate eso en la circunferencia unitaria. La hipotenusa, como siempre en el círculo unitario, tendría una longitud de 1, y la medida a lo largo del $x$ eje sólo sería $0.\overline{3}$ .
Es un ángulo bastante pronunciado. Sólo con esta imagen mental, ya puedes darte cuenta de que va a ser mucho mayor que $45^{\circ}$ y probablemente incluso más que $60^{\circ}$ .
Ronald Doerfler, en su libro Dead Reckoning: Calcular sin instrumentos enseña un método de estimación para encontrar $arccos(x)$ o $cos^{-1}(x)$ (ambos significan simplemente encontrar el ángulo original dado su coseno) en grados.
Su fórmula de estimación para $cos^{-1}(x)$ es: $\sqrt{7(1000-1000x)}-\frac{1}{2}$
Esto se ve mal, pero se puede hacer mentalmente con la práctica. Utilizando su $\frac{1}{3}$ ejemplo, vamos a recorrerlo paso a paso.
Esto funciona mejor con decimales, así que cambiaremos de $\frac{1}{3}$ a $0.\overline{3}$ .
Paso 1: $1000\times0.\overline{3}=333.\overline{3}$ , que redondearemos a $333$ .
Paso 2: $1000-333=667$ . Restar de 1000 es fácil. Si aún no estás familiarizado con el método mental para esto, este video le dará un rápido repaso .
Paso 3: $667\times7$ ? Resuelve esto mentalmente de izquierda a derecha. $600\times7=4200$ , $60\times7=420$ y $7\times7=49$ Así que tenemos $4200+420+49=4620+49=4669$ .
Paso 4: $\sqrt{4669}$ ?!? ¿¡Cómo se supone que se hace eso en la cabeza!? En primer lugar, usted debe estar familiarizado con elevar mentalmente al cuadrado números de 2 cifras . Lo sé. $65^{2}=4225$ y $70^{2}=4900$ , por lo que rápidamente puedo calcular que $\sqrt{4669}$ está entre $65$ y $70$ .
Mentalmente, imagínate que $67^{2}=4489$ . Hmmm... quizás $68^{2}$ o $69^{2}$ estaría más cerca. $68^{2}=4624$ y $69^{2}=4761$ Así que la respuesta es obviamente $68$ apunta algo.
Incluso podemos perfeccionarla rápidamente, utilizando otras técnicas de estimación de la raíz cuadrada mental . $4669-4624=45$ por lo que podemos utilizar la técnica de los enlaces para darnos cuenta de que $\sqrt{4669}\approx68\frac{45}{137}$ o alrededor de $68\frac{1}{3}$ .
Paso 5: $68\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=67\frac{5}{6}$ por lo que este método nos ha dado un ángulo estimado de aproximadamente $68^{\circ}$ .
A través de la experiencia, he encontrado una manera de mejorar la estimación anterior de Ronald Doerfler.
Antes del paso 1, anote el dígito de la décima de su $x$ . Con $0.\overline{3}$ el dígito de la décima es obviamente $3$ .
Siempre que este dígito sea menor que 6 (de 6 a 9, no es necesario ajustar), vas a sumar $6$ menos este dígito, al número de grados, como último paso.
Dado que el dígito original de las décimas era $3$ en este caso, añadiremos $6-3=3$ más grados. $68+3=71$ por lo que tenemos una estimación ajustada de unos $71^{\circ}$ .
Si realmente te ejercitas $cos^{-1}(\frac{1}{3})$ con una calculadora, encontrará que la respuesta es $70.53^{\circ}$ por lo que nuestra estimación mental de $71^{\circ}$ ¡está bastante cerca!
No existe un método general (aunque se puede aproximar el $\arccos$ con Taylor, por ejemplo) para encontrar una solución exacta. De hecho, $\arccos(\frac{1}{3})$ ni siquiera es un "ángulo limpio", ya que no es un múltiplo racional de $\pi$ , véase también la respuesta en ¿Cómo puedo demostrar que $\frac{1}{\pi} \arccos(1/3)$ es irracional? .
$$\arccos x =\dfrac{\pi}{2}-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}=\dfrac{\pi}{2}-\biggl(x+\dfrac{1}{2}\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1}{2\cdot4}\dfrac{x^5}{5}+\underbrace{\cdots}_{o(x)}\biggr), \mid x\mid \lt 1$$
$$\arccos\biggl(\dfrac{1}{3}\biggr)\approx\dfrac{\pi}{2}-\biggl(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{162}+\dfrac{1}{9720}+o\biggl(\dfrac{1}{3}\biggr)\biggr)\approx 1.231290=70.54773^{\circ}$$
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¿Sin calculadora? Entonces será mejor que tengas a mano un volumen de tablas trigonométricas.
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(Ah, y por cierto, $\frac{3+1}{2\sqrt 2}$ es una forma engorrosa de escribir $\sqrt2$ que no es el coseno de nada (real)).
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@Henning Makholm Así es, de hecho $\arccos(\sqrt{2})=i\ln(1+\sqrt{2})$ .
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Debería haber sido $\cos c = (\sqrt{3}+1)/(2\sqrt{2})$ ¿ tal vez? (Aún así, yo representaría el argumento con un denominador racionalizado.) Tampoco represente el ángulo en grados sin usar esa unidad, así $105°$ . Sin la etiqueta de la unidad consideramos que el ángulo es de radianes.