Necesito ayuda con el test de comparación límite $\sum \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}$

Question

Necesito determinar si la siguiente serie converge o diverge:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}$$

Estoy teniendo problemas para encontrar una serie comparar esto pero pensaba que tal vez $1/n^3$.

Answer 1

¿ Indirecta: $$\sqrt{n^2+1}

Answer 2

Sugerencia:

$$(n + 1) ^2 = n^2 + 2n + 1 > n^2 + 1$$

Alternativamente podemos utilizar la prueba de límite

$$\lim{n\to \infty} \frac{1/(\sqrt{n^2 +1})}{1/n} = \lim{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}} = \color{#f05}1 > 0$$

entonces $\sum \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}$ diverge porque $\sum \frac{1}{n}$ diverge.

Answer 3

Indirecta: $ \qquad n^2+1 \leq n^2+3n^2, \space $ por lo tanto, $$\frac{1}{\sqrt{n^2+3n^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$ $