Pseudo inversa de un producto de dos matrices con diferente grado

Question

Deje $V$ $n \times n$ simétrica positiva definida la matriz de rango $n$). Deje $X$ $n \times p$ matriz de rango $p$.

Definir $A^- = (A^\top A)^{-1} A^\top$ como la pseudo-inversa de a $A$ al $A$ es de la columna completa en la clasificación. Tenga en cuenta que $V^- = V^{-1}$ porque $V$ es invertible.

Me gustaría demostrar que

$$ (VX)^- = X^- V^{-1} $$

pero la única teorema sé acerca de la pseudo-los inversos de los productos requiere que ambas matrices deben ser del mismo rango Y que la segunda matriz tiene una fila completa de rango. (A saber: Si $B$ $m \times r$ matriz de rango $r$ $C$ $r \times m$ matriz de rango $r$,$(BC)^- = C^-B^-$.)

Probablemente hay algo obvio que me estoy perdiendo. Alguna pista?

Answer 1

Estoy asumiendo que por un "pseudoinverse" te refieres a Moore–Penrose pseudoinverse $A^+$ de una matriz de $A$. Veamos la definición de propiedades de Moore-Penrose pseudoinverse contra la $X^+ V^{-1}$:

1. $(VX) (X^+ V^{-1}) (VX) = VX X^+ X = VX$. Ok.
2. $(X^+ V^{-1}) (VX) (X^+ V^{-1}) = X^+ X X^+ V^{-1} = X^+ V^{-1}$. Ok.
3. $((VX) (X^+ V^{-1}))^* = V^{-*} (XX^+)^* V^* = V^{-2} (VX)(X^+ V^{-1}) V^2$. Hmmm...
4. $((X^+ V^{-1}) (VX))^* = (X^+X)^* = X^+X = (X^+ V^{-1}) (VX)$. Ok.

Así, el de arriba es O. K. si y sólo si el punto 3 es el O. K., es decir,

$$((VX) (X^+ V^{-1}))^* = V^{-2} (VX)(X^+ V^{-1}) V^2.$$

Sin embargo, esto no es cierto en general. Por ejemplo (por Pedro Mileto en los comentarios),

$$V = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

Entonces

$$(VX)^+ = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix} = V^{-1} X.$$

Observe, sin embargo, que funcionaría si $V$ fue unitaria, en lugar de positiva definida.