Mostrando $[0,1] \times [0,1]$ es un manifold con frontera

Question

Estoy de familiarizarme con los colectores. Traté de mostrar, $[0,1]\times[0,1]$ es un colector con un límite. Puede usted por favor decirme si mi prueba es correcta:

La definición de manifold con frontera:

Un colector con límite de $M$ es un segundo contables de Hausdorff espacio, de modo que para un $p \in M$ no es un conjunto abierto $U \subseteq M$, de modo que hay una homeomorphism $\varphi$ a (a) un conjunto abierto $V$ $H^n \setminus \partial H^n$ o a (b) un conjunto abierto $V$ $H^n$ $\varphi (p) \in \partial H^n$ donde $H^n$ es el cierre de la mitad superior del plano. Esto significa $H^n = \{x \in \mathbb R^n : x_k \ge 0 ; 1 \le k \le n \}$.

Uno tiene que mostrar $M = [0,1] \times [0,1]$ es segundo contable, Hausdorff localmente homeomórficos a $H^n$.

$M$ es segundo contable, debido a que tiene la topología de subespacio de $H^2$.

Es Hausdorff porque tiene la topología de subespacio de $H^2$.

Localmente Euclídeo: Para el punto de $p \in M$ establecer $U$ abierta en$H^2$$p \in U$. La inclusión del mapa de $i: U \to U \subseteq H^2$ es local homeomorphism con la propiedad de los mapas de conjunto abierto y si $p \in \partial M$$i(p) \in \partial H^2$.

Estoy muy agradecido por su ayuda.

Answer 1

La parte donde se muestra que el $M$ es localmente Euclídeo no es correcto y he aquí por qué:

Usted tiene que demostrar que para cada punto de $p \in M$ existe un entorno $U \subseteq M$ $p$ y un homeomorphism de $U$ a un subconjunto abierto de cualquiera de las $\mathbb R^2$ o $\mathbb H^2$.

Ahora, he aquí lo que escribió:

• Para el punto de $p \in M$ establecer $U$ abierta en $\mathbb H^2$ $p \in U$

Así que su vecindario $U$ $\mathbb H^2$ y no en $M$! Mientras que es verdad que a $M \subseteq \mathbb H^2$ no podemos simplemente decir que un barrio en $\mathbb H^2$ es un barrio en $M$. Si $p$ es el punto de $p = (1, 1)$, en cualquier barrio de $p$ $\mathbb H^2$ contendrá los puntos que no están en $M$.

Editar:

Para corregir la prueba recuerda que si $U \subseteq M$ contiene parte de la boundry de $M$ a continuación, el gráfico de $U$ tendrán que asignar que boundry a la boundry de $\mathbb H^2$. Así, por ejemplo, si $p = (1, 1)$ a continuación, vamos a $U = (.4, 1] \times (.4, 1]$ y de un gráfico que intente $\phi\colon U \to \mathbb H^2$ definido por $\phi(x, y) = (1 - x, 1 - y)$. Yo se lo dejo a usted para comprobar que la imagen de $\phi$ está abierto en $\mathbb H^2$ y $\phi$ es un homeomorphism en esta imagen. Usted también tendrá que venir para arriba con mapas que cubren el resto de $M$. Te sugiero que te tomes

• $U_2 = [0, .6) \times (.4, 1]$
• $U_3 = (.4, 1] \times [0, .6)$
• $U_4 = [0, .6) \times [0, .6)$

como los barrios de esas cartas.

Edición #2:

¡Vaya! Mi edición anterior tiene un error como se ha señalado por goobie. También señaló goobie es la solución: en Lugar de la tabla de $\phi$ que me sugirió tomar $\phi\colon U \to \mathbb H^2$ definido por $\phi(z) = z^2$ (en este caso estoy usando números complejos para indicar los puntos en el plano). Luego simplemente tendrás que hacer algo de traslación y rotación para controlar a las otras esquinas.