Pregunta sobre la tensión de la polea-cuerda

Question

Estoy aprendiendo mecánica y no entiendo el siguiente (simple, supongo) concepto. Aquí hay un sistema de polea-cuerda:

La fuerza de tensión, según entiendo, se define como la fuerza ejercida sobre un objeto conectado a la cuerda. Por ejemplo, $\vec{T_1}$ es la fuerza de tensión ejercida sobre el objeto con masa $m_1$. ¿Pero cuáles son las fuerzas $\vec{T_1}'$ y $\vec{T_2}'$? Mi libro de texto dice que también son fuerzas de tensión, pero no entiendo sobre qué cuerpo actúan - ¿sobre la polea? Bueno, no hay fricción aquí. Entonces la única explicación razonable es que estas son fuerzas de tensión internas (que son muy diferentes de $\vec{T_1}$ por ejemplo). En este caso:

1. ¿Por qué nos importan? ¿No se cancelan todas a lo largo de la cuerda (cuando es sin masa)?

2. ¿Por qué nos interesan las fuerzas $\vec{T_1}'$ y $\vec{T_2}'$ actuando tangencialmente a la polea y no, por ejemplo, en la fuerza de tensión actuando sobre la propia polea, es decir:

¿O tal vez en las fuerzas de tensión internas actuando sobre la cuerda en otros lugares?

Answer 1

En la polea de la izquierda, hay 4 fuerzas aplicadas, $T_1'$, $T_2'$, la aceleración gravitatoria en la polea (su peso) $m' g$ (dirigida hacia abajo), y la tensión de la cuerda en el centro de la polea $T$, que es la que dibujas, pero dirigida hacia arriba. Ahora, la tensión $T$ equilibra el peso $mg$ y las otras dos tensiones $T_1'$ y $T_2'$, y la polea no se mueve. Sin embargo, los momentos de las tensiones $T_1'$ y $T_2'$ pueden no equilibrarse, y pueden resultar en una rotación de la polea. De hecho, si $L=I\omega$ es el momento angular de la polea, $I$ es el momento de inercia, y $\omega$ es la velocidad angular, se tiene $$\frac{d L}{dt} =I\frac{d \omega}{dt}=r T_1'-r T_2'$$ donde $r$ es el radio de la polea y los términos en el lado derecho de la ecuación son los momentos de las fuerzas de tensión aplicadas a la polea.

Si tu problema es solo determinar el equilibrio estático del sistema, y no su dinámica, puedes asumir $\frac{d L}{dt}=0$ y por lo tanto equilibrar los dos momentos $r T_1'=r T'_2$, es decir, $T_1'=T_2'$.

Answer 2

Si las poleas no tienen fricción y la cuerda y las poleas son sin masa, entonces de hecho la tensión será la misma en todas partes a lo largo de la cuerda y simplemente puedes considerar el doble de la tensión actuando en el centro de la polea.

Se vuelve más interesante cuando las poleas tienen masa, y hay fricción (e incluso más cuando la cuerda también tiene masa...). Es entonces cuando el diagrama que dibujaste se vuelve más útil: habrá un momento neto en las poleas, por lo que tendrán tanto aceleración angular como lineal. Pero sin fricción, el problema es directo, no es necesario confundirse o complicarlo demasiado.

Respondiendo al comentario: $T_1$ y $T_2$ tienen la misma magnitud (cuerda sin masa) y como tal sus momentos respecto al centro de rotación se cancelan. Pero la suma de sus fuerzas actúa en el centro de la polea, esto es cierto ya sea que haya fricción o no: "el centro de masa se mueve como si todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo actúan en el centro de masa". La fuerza $T$ hacia el techo equilibra estas dos fuerzas. Si imaginas la cuerda haciendo un giro completo alrededor de una polea sin fricción, entonces si la jalaras firmemente, aplastarías (comprimirías) la polea pero no rotaría. Con la cuerda a la mitad del camino, estás aplastando la mitad de la polea, y la fuerza de la suspensión al eje de la polea proporciona la fuerza contraria.

Answer 3

Trabajar en el principio de que la tensión es la misma en todas partes en la cuerda de un sistema de poleas sin fricción hace que el análisis sea fácil. Si la masa en el lado izquierdo es tal que ejerce una fuerza de 10N entonces $$T_1 = T_1' = T_2 = T_2' = T_3 = T_3' = 10 N.$$ Mirando la primera polea a la izquierda, hay una tensión total de 20N actuando hacia abajo ($T_1'$ y $T_2'$). Esto está equilibrado por una tensión de T = 20N en la cuerda que sostiene esa polea desde el techo. La segunda polea tiene una fuerza total de 20N actuando hacia arriba en ella debido a la tensión de las cuerdas a cada lado de ella ($T_2 +T_3$). Esto significa que para que el sistema esté en equilibrio, el peso colgando de la segunda polea a la derecha tiene que ser de 20 N o el doble del peso a la izquierda. Si el peso de la mano derecha es igual al peso de la mano izquierda, entonces hay 20N actuando hacia arriba desde la tensión en las cuerdas y solo 10N actuando hacia abajo, por lo que hay una fuerza neta de 10N actuando hacia arriba y la polea de la mano derecha tendrá que moverse hacia arriba.