Descripción: podemos escribir, $n!= 2^s \times a \times b \cdots (1)$
donde$gcd(a,b)=1$$2^{s+1} \nmid n!$ .Es dado, $\lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor = 2^{s-2}$.
Reclamo: Si $n!= 2^s \times a \times b $$\lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor = 2^{s-2}$, $a$ $90 \% $ primos menos de $n$ como factor.
Prueba: Aquí, $\nu_ p(n)$ indica el p-ádico de valoración de $n$ $s_p(n)$ denota la suma de la base estándar-p dígitos de $n$, por lo que, $\nu _{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}$ ($\textit{Legendre's formula}$). Para $p = 2 $, obtenemos $\nu _{2}(n!)= n-s_{2}(n)$ donde $s_{2}(n) $ es el número de $1$'s en la representación binaria de $n$. El número de números primos menos de $n$ se denota por a $\pi(n)$. Por $\textit{Prime Number Theorem}$, $\pi(n)\approx \frac{n}{\log n}$.
Ya, $\lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor = 2^{s-2} $
$\implies \log_2(a )-\log_2(b)= \log_2 (2)^{s-2}$ [hacer caso omiso de una cantidad $<1$ R. H. S]
$ \implies \log_2(a )-\log_2(b )=n- s_2(n)-2$
$ \implies \sum_{p \mid a}\log_2( p ^{\nu _{p}(n!)})-\sum_{q \mid b}\log_2( q ^{\nu _{q}(n!)})=n- s_2(n)-2 \dots (2)$
La ecuación de $(2)$ implica que,
$\sum_{p \mid a}\log_2( p ^{\nu _{p}(n!)})-\sum_{q \mid b}\log_2( q ^{\nu _{q}(n!)}) >0 \cdots (3)$
Ahora, consideramos que el menor factor primo, $p_0$ $a$ y el mayor factor primo$q_0$$b$. Nota, $a$ $i$ distintos factores primos, $b$ $j$ factores primos y $ i+j = \pi(n)-1\approx \frac{n}{\log n}-1$. Desde entonces,
$\sum_{p \mid a}\log_2( p ^{\nu _{p}(n!)}) < (\log_2(p_0 ^{\nu _{p_0}(n!)}) ) \times i$ y,
$\sum_{q \mid b}\log_2( q ^{\nu _{q}(n!)}) >(\log_2( q_0^{\nu _{q_0}(n!)}) ) \times j$ (Ver 1, Teorema 3.9 en la página 7), así
$(\log_2( p_0 ^{\nu _{p_0}(n!)}) ) \times i-(\log_2(q_0^{\nu _{q_0}(n!)}) ) \times j>\sum_{p \mid a}\log_2( p ^{\nu _{p}(n!)})-\sum_{q \mid b}\log_2(q ^{\nu _{q}(n!)}) \cdots (4) $
$\implies (\log_2(p_0 ^{\nu _{p_0}(n!)}) ) \times i-(\log_2( q_0 ^{\nu _{q_0}(n!)}) ) \times j>0$
$\implies i \times \log_2( p_0 ^{\nu _{p_0}(n!)}) > j \times \log_2( q_0 ^{\nu _{q_0}(n!)} )$
$\implies i > j \times \frac{ \log_2( q_0 ^{\nu _{q_0}(n!)}) }{\log_2( p_0 ^{\nu _{p_0}(n!)}) }$
Vamos, $T=\frac{ \log_2( q_0 ^{\nu _{q_0}(n!)}) }{\log_2(p_0 ^{\nu _{p_0}(n!)}) }$.
$\therefore i > (\pi(n)-1-i) \times T$
$\implies i > T \times (\pi(n) -1)- T \times i \implies i> \frac{T}{(1+T)} \times (\pi(n) -1)\cdots (5)$
Si $ \frac{T}{(1+T)} \approx 0.9$, $i> 0.9 \times (\pi(n)-1)$.
Consulta: Es la anterior prueba correcta? Por favor, hágamelo saber si hay algo inconsistente.
Referencia :
- Diophantine ecuaciones que involucran funciones aritméticas de factoriales, Daniel M. Baczkowski, de Una Tesis para la Maestría de Artes de la Universidad de Miami.
