Encontrar el mínimo absoluto y el máximo absoluto de$f(x,y)=xy$

Question

Deje $\ f(x,y)=xy$. Utilice el método de multiplicadores de Lagrange para encontrar los valores máximo y mínimo de la función f en el círculo de $\ x^2+y^2=1$

Primero observamos que la función de $f$ es continua y el conjunto $S={(x,y):x^2+y^2=1}$ es compacto, por lo tanto extremos están garantizados. Utilizando el método de multiplicadores de Lagrange, me $\nabla f=\lambda\nabla g$ donde $g(x,y)=x^2+y^2-1$. Siguiente a través de los cálculos, me llegó a cuatro puntos críticos: $$\Big(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\Big),\Big(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big),\Big(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\Big),\Big(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)$$ La sustitución de estos puntos en la función de $f$, he obtenido un máximo en $$\Big(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)=\frac{1}{2}$$ y un mínimo en $$\Big(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\mp\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)=-\frac{1}{2}$$

Mi pregunta es, ¿cómo podemos ahora encontrar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función $f$ en la unidad de disco $x^2+y^2\leq 1$?

Mi intento:

Queremos encontrar todos los puntos críticos. Así que para encontrar puntos estacionarios, se establece $$\nabla f=\vec{0}$$ La solución de este, nos encontramos con que $(0,0)$ es de un punto fijo. Por eso, $f(0,0)=0$. Por lo tanto el máximo absoluto es $\frac{1}{2}$ y el mínimo absoluto es $-\frac{1}{2}$, ya que estos son todos los puntos críticos de $f$. Esto no sentó bien a mí, como yo estoy seguro de mi trabajo y de la lógica. Este puede ser mejorado?

Answer 1

Tiene el objetivo de minimizar el problema de optimización de la función de $f(x,y) = xy$ sobre el espacio $S= \{ (x,y) \in \mathbb R^2 : x^2 + y^2 = 1\}$. Una forma conocida de lidiar con los multiplicadores de Lagrange es la de Kuhn-Tucker método de Lagrange.

Primero de todo, se observa que la $f(x,y)$ es continua y suave y que el espacio de $S$ es compacto. Por lo tanto, esto significa que existe un mínimo de $(\bar{x},\bar{y})$$f(x,y)$$S$.

Por la de Kuhn-Tucker método de Lagrange, nos rendimiento :

$$f_0(x,y) = xy, \; \; f_1(x,y)= x^2+y^2-1$$

y, a continuación, el K. T. L. sistema :

$$\begin{cases} \nabla f_0 + \lambda_1\nabla f_1 = 0 \\ \lambda_1 f_1 =0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \begin{bmatrix} y \\ x \end{bmatrix} + \lambda_1\begin{bmatrix} 2x \\ 2y \end{bmatrix} =0 \\ \lambda_1(x^2 + y^2 -1) \;= 0\end{cases}$$

Comprobar los casos de $\lambda_1 = 0$ $\lambda_1 >0$ y, a continuación, usted va a producir los mismos resultados. (Máximo está dado para aplicar el mismo método para $-f(x,y)$ o, simplemente, que el rendimiento de los mismos puntos como usted lo hizo.

Ahora, si existiera otro mínimo o máximo, se deberá cumplir con los K. T. L. problema. Desde ningún otro punto satisface, estos son todos los límites mínimos y máximos. La observación de que usted tiene dos posibles mínimo y el máximo de puntos (ya que los valores son iguales) por $f(x,y)$$S$, esto significa que usted tiene un total máxima y mínima en cada uno de los puntos cada vez.

Answer 2

El método de los multiplicadores de Lagrange nos dice que los extremos locales de la restricción de$f$ al círculo son los que tienes. Entonces, el máximo absoluto y el mínimo absoluto deben alcanzarse en algunos de ellos (el máximo absoluto y el mínimo absoluto son extremos locales). Como$f$ toma el valor$\frac12$ en dos de ellos y ningún valor mayor que$\frac12$,$\frac12$ es necesariamente el máximo. El mismo argumento se aplica al mínimo.

Answer 3

El método de Lagrange le proporciona los extremos locales de la función restringida al límite *. Los puntos estacionarios te dan los extremos locales, y los consideras dentro del límite .

Entonces los extremos globales se alcanzan por los extremos locales que producen los valores más grandes / más pequeños.

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* Alternativamente, puede usar una ecuación paramétrica del límite, deje$x=\cos t,y=\sin t$ y encuentre los extremos locales de$\cos t\sin t$, que se producen en$t=\dfrac{k\pi}4$, dando los valores$\pm\dfrac12$.