¿Cuándo son $V$ y $V^{*}$ canónicamente isomórfico?

Question

En términos generales, para un espacio vectorial de dimensiones finitas $V$ , $V$ y $V^*$ no son canónicamente isomórficas después de que fijemos una base para $V$ . Una de mis preguntas es:

Si no fijamos una base para $V$ ¿podemos decir que $V$ y $V^*$ son isomórficas canónicas?

Por ejemplo, el siguiente es un caso especial.

Deje que $L$ ser un espacio vectorial de dimensiones finitas sobre un campo $K$ y dejar que $V:= \text {Hom}(L,L)$ . Sabemos que $$ \text {Hom}(L,L) \cong L^* \otimes L \cong L^* \otimes L^{**} \cong (L \otimes L^*)^* \cong\text {Hom}(L,L)^*,$$ y los isomorfismos anteriores son canónicos, así que $V \cong V^*$ canónicamente.

La otra pregunta es:

¿Hay otros espacios vectoriales $V$ de tal manera que $V$ y $V^*$ son canónicamente isomórfico? O, ¿es el anterior el único caso tal que $V$ y $V^*$ son canónicamente isomórficas?

Answer 1

Un isomorfismo $V \cong V^ \star $ es lo mismo que una forma bilínea no degenerada $(-,-) \colon V \times V \to k$ . Así que un espacio vectorial es canónicamente equivalente a su dual exactamente si viene equipado con una forma bilínea no degenerada.

En su ejemplo $ \operatorname {Hom}(L,L)$ tiene la forma bilineal $(f,g)= \operatorname {tr}(fg)$ .

Answer 2

Esta es la misma respuesta de Tashi Walde, pero quizás más concreta.

Si $( \cdot , \cdot )$ es un producto interno en $V$ entonces el isomorfismo está dado por $ \phi :V \to V^*$ donde $ \phi (v) \mapsto (v, -)$ donde $(v,-)$ es una función lineal dada por $(v,-)(w)=(v,w)$ .

De hecho, esto es un isomorfismo, ya que si el funcional $(x,-)$ es cero, entonces $(x,x)=0$ lo que implica que $x=0$ . Por supuesto, la inyectabilidad es suficiente para los espacios vectoriales de la misma dimensión.

$ \phi $ (como se ha mencionado anteriormente) puede identificarse con un mapa bilineal $V \times V \to k$ a través de un "argumento de curry".