Dada cualquier función continua f(x), ¿existe siempre una función cuya integral sea f(x)?
Por ejemplo, ¿hay una función cuya integral sea La función de Weierstrass
No, cualquier función integral de un $L^1$ es absolutamente continua, mientras que existen funciones continuas que no son absolutamente continuas. Por ejemplo, la función de Weierstrass, al no ser diferenciable en ningún punto, no es de variación acotada (cualquier función de variación acotada es diferenciable en casi todas partes) y entonces no es absolutamente continua (porque la continuidad absoluta implica variación acotada). Así que la función de Weierstrass es una función continua que no es una función integral de ningún $L^1$ función.
Pero puede existir f tal que F no sea diferenciable. Por ejemplo, si f(x)=signo(1-x) para x en [0,2], entonces F es una función triangular que no es diferenciable. En este caso, f no tiene por qué ser continua.
Perdón, en mi comentario anterior y en la respuesta, los papeles de F y f están intercambiados. f es continua pero F no tiene por qué serlo. Quería saber, ¿hay F tal que la integral (F) es f=función de Weierstrass.
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