Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta, que aparece como la parte de un ejercicio de Atiyah-Macdonald Capítulo I. de las 22:
Para un anillo de $A$ si $\mathrm{Spec}(A)$ se desconecta, entonces tenemos $A\cong A_1\times A_2$ para algunos anillos de $A_1,A_2$.
En realidad, la pregunta original es mostrar tres condiciones equivalentes y podemos evitar que el anterior. Pero me gustaría ver si hay una posibilidad de demostrar esto.
Aquí va mi intento:
Deje $\mathrm{Spec}(A)=V(I_1)\cup V(I_2)$ donde $V(I_i)$ son propias de los conjuntos cerrados y $V(I_1)\cap V(I_2)=\emptyset$. Entonces tenemos $$I_1+I_2=(1)$$
Así que si tenemos $I_1\cap I_2=\{0\}$, podemos utilizar el teorema del resto Chino para mostrar $$A\cong A/\{0\}\cong (A/I_1)\times (A/I_2)$$ a continuación, hemos terminado. Por desgracia, de $V(I_1)\cup V(I_2)=V(I_1\cap I_2)=\mathrm{Spec}(A)$, sólo podemos obtener $$I_1\cap I_2\subset \mathfrak{N}$$ donde $\mathfrak{N}$ es el nilradical de $A$.
Así que me preguntaba si podemos reducir $I_1$$I_2$, de modo que para completar el argumento anterior. El obvio intento es $I_1$ y el ideal generado por a $I_2\setminus I_1$, pero es evidente, a ver que $I_1\cap \langle I_2\setminus I_1 \rangle\neq \{0\}$...
Realmente agradezco cualquier tipo de ayuda!
