¿Cómo solucionarlo?

Question

que $f(x)=\dfrac{x^2+x-2}{1-\sqrt{x}}$

¿Cómo se resuelve este limite? $$\lim_{x\to1}f(x)$$

Puedo cambiar la función con su contenido $$\lim_{x\to1}\dfrac{x^2+x-2}{1-\sqrt{x}}$ $

Luego racionalizando el denominador $$\lim_{x\to1}\dfrac{x^2+x-2}{1-\sqrt{x}}\cdot\dfrac{1+\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$ $

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, Puedo quitar el denominador irracional.

$$\lim_{x\to1}\dfrac{(x^2+x-2)(1+\sqrt{x})}{1-x}$$

Al multiplicar los dos paréntesis $$\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x} \cdot x^2+\sqrt{x}\cdot x- \sqrt{x} \cdot 2 + x^2 + x - 2}{1-x}$ $

No sé donde seguir resolver este límite.

Answer 1

Observe que $$ x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2). $ $ por lo tanto\begin{align} \lim{x\to 1}\frac{(x^2+x-2)(1+\sqrt{x})}{1-x} &= \lim{x\to 1} \frac{(x-1)(x+2)(1+\sqrt{x})}{1-x} \ &= \lim{x\to 1} \frac{-(1-x)(x+2)(1+\sqrt{x})}{1-x} \ &= -\lim{x\to 1} (x+2)(1+\sqrt{x}) \ &= -(1+2)(1+\sqrt{1}) && \text{(%#%#%)}\ &= -6. \end{align} en el paso ($\ast$), estamos utilizando el hecho de que ambos factores son continuos en $\ast$ y que el producto de funciones continuas es continuado.

Answer 2

Alternativamente, usted puede siempre el factor de la manera difícil:

$\frac {x^2 + x - 2}{-\sqrt x + 1}=$

$\frac {x^{\frac 32}(\sqrt{x} - 1) + x^{\frac 32} + x - 2}{-\sqrt x + 1}=$

$-x^{\frac 32} + \frac {x(\sqrt x-1) + 2x - 2}{-\sqrt x+ 1}=$

$-x^{\frac 32} -x + \frac {2\sqrt x(\sqrt x -1) +2\sqrt x - 2}{-\sqrt x +1}=$

$-x^{\frac 32} - x - 2\sqrt{x}-2$

Por lo $\lim\limits_{x\to 1} \frac {x^2 + x - 2}{-\sqrt x + 1}=\lim\limits_{x\to 1}(-x^{\frac 32} - x - 2\sqrt{x}-2) = -(1^{\frac 32}) - 1 - 2\sqrt 1 - 2= -1-1-2-2 = -6$.

Lo que es difícil y muy duro, y uno debe haber visto y hecho uso de $x^2 +x -2= (x+2)(x-1)$ y de alguna manera di cuenta de que $(x -1) = (\sqrt x+1)(\sqrt x -1)$ lo hace más fácil.

Pero a veces no vemos las cosas y es bueno saber que la fuerza bruta puede trabajar cuando no lo hacemos.

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O si solo dejamos $y = \sqrt x$ $\lim_{x\to 1} \frac {x^2 + x - 2}{1-\sqrt x }= \lim\limits_{y^2 \to 1;y > 0}\frac {y^4 + y^2 - 2}{1-y}$ y psicológicamente que parece más fácil. Acabamos de factor de $y^4 + y^2 -2 = (y^2 + 2)(y^2 - 1) = (y^2+2)(y+1)(y-1)$ e las $y-1$s cancelar.

Answer 3

$$\lim{x\to1}\dfrac{(x^2+x-2)(1+\sqrt{x})} {x-1} = \ \lim{x\to1}(1+\sqrt{x})\lim{x\to1}\dfrac{(x^2+x-2)} {1-x} \ =2\lim{x\to1}\frac{(x+2)(x-1)} {x-1} =-6 $$

Answer 4

$$\lim{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{1-\sqrt{x}}=\lim{y\to 1}\frac{y^4+y^2-2}{1-y}=-\lim_{y\to 1}\frac{y^4+y^2-2}{y-1}$$

Y ese último límite es, por definición, la derivada $\frac{d}{dy}(y^4+y^2)=4y^3+2y$ $y=1.$

Por lo que el resultado es $-6.$

O usted puede apenas factor:

$$\frac{y^4+y^2-2}{y-1}=\frac{y^4-1}{y-1}+\frac{y^2-1}{y-1}=1+y+y^2+y^3 + 1+y.$$