Definición de regla de cadena

Question

Aprendí de un libro de texto que si $f(x)$ puede ser expresada como una función de la $u(x)$, por ejemplo, $$f(x) = u(x)^3,$$ y si $\delta f$, $\delta u$, $\delta x$ son pequeñas cantidades finitas, entonces $${\delta f \over \delta x} = {\delta f \over \delta u} {\delta u \over \delta x}.$$ Como las cantidades convertido en infinitesimalmente pequeño, obtenemos $$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \frac{du}{dx}.$$ Las definiciones anteriores parece sugerir el las cantidades ${\delta u}$ $du$ tiene que cancelar en las expresiones.

He ampliado la definición anterior utilizando el gradiente de la definición de un derivado en $${df \over dx}=\lim_{\delta u \to 0} {f(u+\delta u)-f(u) \over \delta u} \times \lim_{\delta x \to 0} {u(x+\delta x)-u(x) \over \delta x}$$

¿Esto implica que el $\delta u$ $u(x+\delta x)-u(x)$ cancelar el uno del otro?Si eso es así, ¿por qué son iguales? No parece intuitivo para mí que ellos igual.

Answer 1

$${\delta f \over \delta x} = {\delta f \over \delta u} {\delta u \over \delta x}$$ is an ordinary relation between fractions and the $ \ delta u $ realmente se cancelan entre sí ya que son el mismo número.

Cuando se llega al límite, según la definición de los derivados y la regla del producto,

ps

La sustitución de$$\frac{df}{dx}=\lim_{\delta x\to0}{\delta f \over \delta x} = \lim_{\delta x\to0}{\delta f \over \delta u} {\delta u \over \delta x}=\lim_{\color{blue}{\delta x\to0}}{\delta f \over \delta u}\lim_{\delta x\to0} {\delta u \over \delta x}=\lim_{\color{blue}{\delta u\to0}}{\delta f \over \delta u}\lim_{\delta x\to0} {\delta u \over \delta x}=\frac{df}{du}\frac{du}{dx}.$ por$\delta x$ (en azul) es posible porque$\delta u$ y$\delta u$ van a cero simultáneamente.

Answer 2

Podemos dar un tipo de explicación no rigurosa pero intuitiva de la regla de la cadena como sigue para

ps

entonces

ps

ps

así

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Answer 3

Por definición , tienes

\begin{align} \delta f(u) &= f(u + \delta u) - f(u) \\ \delta u(x) &= u(x + \delta x) - u(x) \end{align}

El hecho de que la relación se cancela es inmediatamente obvio aquí

ps

La parte que más te debería importar es volver de$$ \frac{df}{du}\frac{du}{dx} = \lim_{\delta u \to 0}\frac{f(u + \delta u) - f(u)}{u(x+\delta x) - u(x)}\cdot \lim_{\delta x \to 0} \frac{u(x + \delta x) - u(x)}{\delta x} = \lim_{\delta x\to 0} \frac{f(u+\delta u)-f(u)}{\delta x} $ a$u$

\begin{align} f(u(x)) &= f(x) \\ f(u(x) + \delta u(x)) &= f\big(u(x+\delta x)\big) = f(x + \delta x) \end{align}

Así

ps