Compruebe si $G$ grupo o no

Question

Deje $G=\{0,1,2\}$ definir $*$ $G$ tal que $a*b=|a-b|$. Compruebe si $G$ es un grupo

Edit : Como @egreg señalado correctamente si se dibuja la tabla de cayley entonces uno puede ver directamente no es un grupo , que estaba haciendo un error en la elaboración de la tabla de cayley.

Mi solución : Puedo demostrar que $G$ es cerrado , tiene una identidad ($0$) , tiene una inversa (cada elemento es a la inversa de sí mismo).

Lo que no estoy seguro es si el grupo es asociativa bajo la operación binaria, en la cara de ella $|a-|b-c||\neq||a-b|-c||$ pero si damos un vistazo a todas las posibilidades, a continuación, ambos vienen a ser igual si $a,b,c \in G$.

Cualquier sugerencia/ayuda será apreciada

Answer 1

La operación que usted describe no es asociativa, desde:\begin{align}\bigl||2-1|-1\bigr|&=0\&\neq2\&=\bigl|2-|1-1|\bigr|.\end{align} por lo tanto, $(G,*)$ no es un grupo.

Answer 2

La tabla de Cayley (que también muestra el encierro, identidad e inversas)\begin{array}{c|ccc} * & 0 & 1 & 2 \ \hline 0 & 0 & 1 & 2 \ 1 & 1 & 0 & 1\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{matriz} ya que en la segunda fila el elemento $1$ aparece dos veces, el conjunto no es un grupo.

En un grupo, de $xy=xz$ uno deduce $y=z$; aquí, en cambio, $10=12$, % y $0\ne2$.