Clases de Isotopy de curvas cerradas incrustadas en un toro

Question

¿Alguien puede explicarme por qué la Isotopía clases de embedded curvas cerradas en un toro se clasifican por "pistas" $r\in\mathbb{Q}\cup \{\infty\}$? ¿Por qué podemos identificar (hasta isotopía) simple curvas cerradas ($(p,q)$-curvas) en un Toro a $\mathbb{Q}\cup \{\infty\}$? Pensé que esto es debido al hecho de que el grupo fundamental de que el Toro es $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ pero no estoy realmente seguro. He visto el anterior hecho de ser utilizada varias veces. (véase Ulrich página 2, Hatcher página 1).

Answer 1

Para simplificar, voy a asumir que estamos en el buen categoría o el modelo lineal por tramos (PL) categoría. Yo voy a dejar el topológica de la categoría, la de alguien más, o más tarde.

Deje $C$ ser una simple curva cerrada en un 'toro'$T$. Fijar un punto de base a lo largo de $C$, e decir $(0,0)$ es el correspondiente punto de base en la universalización de la cobertura $\mathbb{R}^2$$C$. Primero de todo, isotopies de orientado a simple curvas cerradas son homotopies, por lo que el elemento correspondiente de $\pi_1(T)$ es un invariante de la isotopía de la clase de los orientados a la curva cerrada simple. Para no orientada simple curvas cerradas, el invariante lugar se encuentra en $\pm\pi_1(T)$, escrita de esta manera ya que el grupo fundamental es abelian.

Si $C$ es la separación, lo que significa $T-C$ se desconecta, a continuación, $C$ da $T$ como conectar suma de dos superficies, una de las cuales es una esfera (por la clasificación de las superficies). Eso significa que uno de los componentes conectados de $T-C$ es un disco, por lo $C$ es nullhomotopic, correspondiente a$(0,0)$$\pm\pi_1(T)$. Digamos que en tu pregunta ignoramos nullhomotopic simple curvas cerradas. (Alternativamente, la separación significa que $C$ es nullhomologous debido a que cada componente de $T-C$ representa una superficie cuyo límite es $C$. Par que con $H_1(T)\cong\pi_1(T)$, ya que el grupo fundamental es ya abelian.)

Si $C$ es no separar, entonces a partir de la $T$ es orientable hay un camino de un lado de la $C$ a los demás. En particular, tomar una cerrada regular vecindario $\overline{\nu(C)}\subset T$$C$, que es un cilindro (anillo), y tomar un camino a $P$ $T-\nu(C)$ entre los dos componentes del borde de $\overline{\nu(C)}$. El límite de $\overline{\nu(C)}\cup\overline{\nu(P)}$ es una separación de círculo, de nuevo demostrando $T$ como conectar suma. Desde $C$ es homotopically no trivial, el $C$-lado de la frontera es un toro conectar sumando, y el otro lado es un disco (de nuevo, por la clasificación de las superficies). Uno obtiene un isomorfismo entre el $\pi_1(T)$ $\mathbb{Z}^2$ a partir de este, donde una de las orientaciones de $C$ corresponde a $(1,0)$.

Una consecuencia de esto es que el $p$ $q$ son coprime. Cada automorphism de $\mathbb{Z}^2$ puede ser escrito como una $2\times 2$ invertible la matriz de enteros entradas con determinante $\pm 1$. El determinante de la matriz es divisible por el mcd de a$p$$q$, y por lo $p$ $q$ son coprime.

Deje $C_{p,q}$ ser la imagen en $T$ de la línea recta de $(0,0)$ $(p,q)$en la cobertura universal. Si $p,q$ son coprime, a continuación, la imagen en $T$ es una curva cerrada simple. Por lo tanto, para no orientada simple curvas cerradas, el invariante es en $\{\pm (p,q)\in\pm\pi_1(T):\gcd(p,q)=1\}$, y cada una de dichas invariantes valor se puede obtener a partir de unas sencillas curva cerrada. Mediante el mapa de $\pm(p,q)\mapsto p/q$,$1/0=\infty$, podemos escribir esta invariante de clases de isotopía de perdidos no separar simple curvas cerradas, la pendiente, como un elemento de $\mathbb{Q}\cup\{\infty\}$.

Ahora, ¿por qué esto es una completa invariante? No tome un simple separación de las curvas cerradas $C$$T$. Bien podemos tomar un auto-homeomorphism de $T$, por lo que sin pérdida de generalidad podemos suponer $C$ tiene una pendiente de $1/0$. Vamos a mostrar que el $C$ es isotópico a $C_{1,0}$. Por una apelación estándar a la transversalidad, podemos suponer que $C$ intersecta $C_{1,0}$ transversalmente en un número finito de puntos, ya que es isotópico a uno que sí.

Vamos a mostrar que $C$ es isotópico a una curva que no se intersectan $C_{1,0}$. En $T-C_{1,0}$, $C-C_{1,0}$ es una colección de loops y arcos. Si hay bucles, entonces no hay arcos y por lo tanto no hay intersección, por lo que considerar el caso de que no los bucles. Arcos vienen en dos variedades: los que van de un lado de la $C_{1,0}$ a los otros ("a través de-arcos") y aquellos que van de un lado de la $C_{1,0}$ para el mismo lado ("arcos"). Considerar las regiones de $T-(C\cup C_{1,0})$. Si hay un arco, entonces no es un disco de una región delimitada sólo por ese arco y un arco de $C_{1,0}$, mediante la adopción de un "interior" de la mayor parte de back-arc de acuerdo a algunos de orden parcial. Utilizar este disco para isótopo $C$ a quitar dos puntos de intersección. Por inducción, hay arcos y sólo a través de-los arcos. Si hubo sólo a través de-los arcos, sin embargo, luego de la pendiente de $C$ no podía ser $1/0$, pero en lugar de $a/b$ donde $b$ es el número de arcos.

Por lo tanto, $C$ es isotópico a un bucle en el espacio anular $T-C_{1,0}$, y por la teoría de clases de isotopía de la separación de curvas cerradas simples en un anillo, $C$ es isotópico a el círculo principal, y por lo tanto a $C_{1,0}$.

Answer 2

Permita que$p$ sea la cantidad de veces que la curva recorre el meridiano del toro y$q$ la cantidad de veces que la curva gira alrededor del ecuador del toro. Entonces$p/q \in \Bbb{Q} \cup \{ \infty \}$ describe la curva hasta isotopy. Incluimos$\infty$ ya que podemos tener$q=0$.

Answer 3

Creo que es porque las curvas con pendiente racional se pueden ver en el cuadrado de la unidad con lados opuestos identificados (una forma típica de realizar el toro) para ser precisamente las curvas cerradas simples (es decir, que giran y aterrizan sobre sí mismas); en contraste con aquellos con pendiente irracional, que no están cerrados y de hecho son densos en el toro (este es un ejercicio en Guilleman y Pollack).

Answer 4

Para añadir a las respuestas existentes, la correspondencia con los números racionales no es para cualquier elemento de $\pi_1(\Bbb T^2)$, esto es hecho para el subconjunto de los elementos que pueden ser representadas por incrustado curvas.

En ese caso, el algebraicas número de veces que una curva de éxitos de la longitud y el meridiano, decir $p$$q$, tiene que ser coprime. Esta es la razón por la que el mapa de $(m,n)\mapsto\frac mn$ restringido a esta clase de curvas es inyectiva.

La razón por la que se coprime se explica en esta respuesta por Lee Mosher. Tenga en cuenta que si $p$ $q$ no coprime, a continuación, la homología de la clase de la curva es un múltiplo de otra clase de homología. Estándar generadores de $H_1(\Bbb T^2)$ no son múltiplos de otras clases de homología.

Answer 5

$\bullet$ Supongamos $(p,q)$ es un simple toro de la curva. Existe una curva cerrada $(a,b)$ que se cruza con $(p,q)$ exactamente una vez. Por lo tanto, $|ap-bq|=1$ (ver aquí), lo que muestra que $pb-qa=\pm 1$, lo $\gcd(p,q)=1$.

$\bullet$ Supongamos que $\gcd(p,q)=1$. Sabemos que el grupo fundamental de que el Toro es generado por $[\nu]$ $[\mu]$ donde $\mu$ $(1,0)$- y la curva de $\nu $ $(0,1)$- de la curva (los consideramos como bucles basada en el origen). El elemento $p[\mu]+q[\nu]$ es un elemento del grupo fundamental y es primitivo (debido al hecho de que $\gcd(p,q)=1$). $[(p,q)]\in\pi_1(T)$ no es un múltiplo de alguno de los elementos. Por lo tanto, el $(p,q)$-curva no se cruzan a sí mismo. De ello se desprende que el $(p,q)$-curva debe ser una curva simple.

Ahora bien, es claro que hay un bijection entre el conjunto de curvas cerradas simples en el Toro y $\mathbb{Q}\cup\{\infty\}$.