Encontrar el límite para cantidades infinitas.

Question

<blockquote> <p>Encontrar a $$\lim_{x\rightarrow 0}{\color{red}{x}} \cdot\bigg(\dfrac{1}{1+x^4}+\dfrac{1}{1+(2x)^4}+\dfrac{1}{1+(3x)^4}\cdots\bigg)$ $</p> </blockquote> <p>Como términos se escriben infinitamente mis intuiciones no permite dar respuesta como $0$. Trató de tan calculado que suma extraña algo así,</p> <p>$T_n=\dfrac{1}{1+(nx)^4}=\dfrac{1}{(n^2x^2+\sqrt{2}nx+1)\cdot(n^2x^2-\sqrt{2}nx+1)}$ ahora esto no se traduce en suma telescópica, qué debo hacer, es respuesta $0$, si tan entonces por qué deberíamos asumir que $\color{red}x$ quedará en el numerador no importa pase lo que pase.</p> <p>Por favor ayuda.</p>

Answer 1

Sí, tienes razón, el límite no es cero. Esta es mi sugerencia: $x>0$ $$\int{x}^{\infty}\frac{dt}{1+t^4}=\sum{k=1}^{\infty}\int{kx}^{(k+1)x}\frac{dt}{1+t^4}\leq x\sum{k=1}^{\infty}\frac{1}{1+(kx)^4}\leq \sum{k=1}^{\infty}\int{(k-1)x}^{kx}\frac{dt}{1+t^4}=\int{0}^{\infty}\frac{dt}{1+t^4}.$ $ entonces echar un vistazo a [¿Cómo puedo calcular el % integral $\int{0}^{\infty} \frac{dt}{1+t^4}$?](https://math.stackexchange.com/questions/43457/how-can-i-compute-the-integral-int-0-infty-fracdt1t4)

Answer 2

Haciendo $n = \frac{1}{x}$

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^4}\equiv\int_0^1\frac{d\xi}{1+\xi^4} = \frac{\pi +2 \coth ^{-1}\left(\sqrt{2}\right)}{4 \sqrt{2}} $$

NOTA

Con fines de integración

$$ \frac{1}{1+\xi^4} = \frac{a_1\xi+b_1}{\xi^2+\sqrt 2 \xi + 1}+\frac{a_2 \xi+ b_2}{\xi^2-\sqrt 2 \xi + 1} $$

así que

$$ \int\frac{d\xi}{1+\xi^4} = \frac{1}{2} \left(-2 \left(a_1+\sqrt{2} b_1\right) \bronceado ^{-1}\left(1-\sqrt{2} \xi \right)+a_1 \log \left(\xi ^2-\sqrt{2} \xi +1\right)-2 \left(a_2-\sqrt{2} b_2\right) \bronceado ^{-1}\left(\sqrt{2} \xi +1\right)+a_2 \log \left(\xi ^2+\sqrt{2} \xi +1\right)\right)+C $$