¿Es la correspondencia de estado operador un axioma o un teorema?

Question

El operador estatal de la correspondencia – la declaración de que los estados de una teoría están en una correspondencia uno a uno con su (local) los operadores – siempre le pareció un trabajo de principio a mí, en lugar de un resultado se puede derivar. Más precisamente, yo siempre he tenido la impresión de que lo uso para definir lo que queremos decir por los estados de la teoría. Especialmente desde algunas teorías no tienen un predefinidos noción de Lagrange/Hamiltonianos, y por lo tanto los "estados" de la teoría es una forma más bien vaga noción: ¿qué es lo que realmente queremos decir por los estados unidos, si no tenemos un Hamiltoniano para diagonalise? El espectro de los operadores parece ser mucho más definido el concepto, y definimos los estados actuando con ellos en el vacío (a la Verma). Es mi entendimiento correcto? Es el operador el estado de la correspondencia de un axioma? Es una definición? O es un teorema?

Nota: estoy interesado en el caso genérico aquí. Tal vez no es un juguete en particular-modelo donde uno puede demostrar la correspondencia, pero eso no es lo que realmente estoy buscando.

Answer 1

Depende de tu punto de vista, supongo. No es una derivación de operador-estado de la correspondencia de la ruta integral, véase, por ejemplo, TASI notas de la conferencia. Esto es bueno si estás bien con la comprensión intuitiva de lo que los estados y los operadores locales.

Hay una más axiomático punto de vista. Usted está preguntando ¿cómo sabemos cuál es el espacio de Hilbert de los estados en una QFT si no sabemos lo que el Hamiltoniano es. Primero de todo, vamos a hacer la suposición de que hay un vacío de estado, que es invariante bajo todas las simetrías, llame a $|0\rangle$. Entonces, ya que estamos hablando de un QFT, digamos que hay un verdadero campo escalar $\phi(x)$. Entonces podemos empezar a formar nuevos estados por actuar en el vacío, $$ \phi(x_1)|0\rangle,\quad \phi(x_1)\phi(x_2)|0\rangle,\quad\ldots $$ Un problema inmediato es que estos estados no normalizable, ya que dicen que la norma de que el primer estado es $\langle0|\phi(x)\phi(x)|0\rangle$, que está a dos puntos de la función en puntos coincidentes, lo que está mal definida. (Dicen que en CFT sabes inmediatamente que esto es infinito. También se nota que estoy haciendo normal Lorenzian QFT aquí, no radial de cuantización.)

Para solucionar este problema, se considera que los estados $$ \int d^dx_1 f(x_1)\phi(x_1)|0\rangle,\quad \int d^dx_1 d^dx_2 f(x_1,x_2)\phi(x_1)\phi(x_2)|0\rangle,\quad\ldots $$ donde $f$ son Schwartz funciones de prueba. Estos estados han finito de normas (este es uno de Wightman axiomas, puede ser explícitamente verificada, por ejemplo, en CFT de dos y tres funciones de punto.) Uno, a continuación, define el vacío "superselection sector" $\mathcal{H}_0$ a ser el espacio de Hilbert de los estados que pueden ser creados de esta manera (tenga en cuenta que no todos son linealmente independientes; la parte interior de sus productos se calculan las funciones de correlación). Uno puede tomar este a ser el espacio de Hilbert de los estados si uno está interesado sólo en las funciones de correlación de los operadores locales. Si no existen operadores locales, entonces no puede ser que en otros sectores, esto depende en gran medida de cómo se defina su teoría.

En el anterior hemos utilizado sólo $\phi$ y esta va a ser una teoría real de un campo escalar, más en general, usted puede usar cualquiera de los operadores locales que tienen para crear nuevos estados. Sin embargo, es importante que usted no necesita todos los operadores locales para crear todos los estados, ya que se puede actuar con uno de los operadores varias veces.

De esta forma se define el espacio de estados. Definición del espacio de operadores locales es un poco complicado. En particular, necesitamos una noción de integridad para el conjunto de los operadores locales. Creo que la correcta requisito es que el set contiene los operadores que se utilizan para definir los estados (por ejemplo, $\phi$ en el ejemplo anterior), y que es cerrado bajo un asintótica OPE de expansión. Con esta definición, se puede probar en CFT que esta OPE expansiones en realidad convergen en el vacío y por lo tanto todos los estados de la anterior puede ser reducido por la OPE a los estados creados por un solo operador local de su set completo. Esto le permite probar el operador estatal de la correspondencia de Wightman axiomas+asintótica OPE.