¿Es posible que la derivada de una función crezca arbitrariamente más rápido que la función misma?

Question

Sabemos que existen algunas funciones $f(x)$ tal que su derivada $f'(x)$ es estrictamente mayor que la propia función. por ejemplo, la función de $5^x$ tiene un derivado $5^x\ln(5)$, que es mayor que $5^x$. Las funciones exponenciales en general son conocidos por ser proporcional a sus derivados. La pregunta que tengo es si es posible para una función para crecer aún más rápido" que este. Para ser más precisos, vamos a tomar la relación $f'(x)/f(x)$ para las funciones exponenciales esta relación es una constante. Para la mayoría de las funciones elementales que nos interesan, esta relación por lo general tiende a 0. Pero hay funciones para las que esta proporción crece arbitrariamente grande? Si es así, ¿hay un límite para lo grande que sea la relación de $f'(x)/f(x)$ puede crecer? También les pido una pregunta similar para las integrales.

Answer 1

Considere la ecuación diferencial $$ \ frac {f '} {f} = g $$ donde$g$ es la función de crecimiento rápido que desea. Por ejemplo, para$g(x) = e^x$ (y di la condición inicial$f(0) =1$) obtienes $$ f (x) = e ^ {e ^ x-1} $$ La proporción$f'/f$ crece arbitrariamente grande.

Answer 2

Siempre puede intentar funciones de la forma$f(x) = e^{g(x)}$, donde$g(x)$ es una antiderivada de una función con gran crecimiento. Por ejemplo, si$f(x) = e^{e^x}$, entonces$$\frac{f'(x)}{f(x)} = e^x,$ $ es, por supuesto, exponencial.

Answer 3

Incluso $f(x)=\frac 1x$ ha derivado $\frac {-1}{x^2}$, y la segunda derivada $\frac 2{x^3}$ que crecer arbitrariamente más rápido que $f(x)$$x \to 0$. La relación de $\frac {f'(x)}{f(x)}=-\frac 1x$ que no está delimitada como $x \to 0$. El mensaje importante es que los derivados acentuar corto alcance de los cambios, así que si usted tiene una función que cambia rápidamente en una corta distancia de la derivada es grande.

No entiendo lo de "una pregunta similar para las integrales". Las integrales son funciones de suavizado, por lo que la integral de una función no puede crecer más rápido que la función de veces la longitud de la integral.