Cómo mostrar en un lugar limpio manera que el cero-locus de $$z^4 + (x^2 + y^2 - 1)(2x^2 + 3y^2-1) = 0$$ es un toro?
Respuestas
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Esto me tomó más tiempo de lo que debería, dada la simplicidad de la respuesta.
En primer lugar, analizar la ecuación para cuando se tiene soluciones: claramente, que requieren $z^4 \geq 0$, y por lo tanto, $(x^2 + y^2 - 1)(2x^2 + 3y^2 - 1) \leq 0$. Por lo tanto, uno debe ser positivo y el otro negativo. Cada factor se desvanece en un avión de la curva que es una sección cónica, respectivamente, del círculo unidad en $(0,0)$ y la elipse centrada en $(0,0)$ con su eje mayor a lo largo de la $x$-eje de longitud $1/\sqrt{2}$ y su eje menor a lo largo de la $y$-eje de longitud $1/\sqrt{3}$. Los puntos de $(x,y)$, con el correspondiente $z$ por encima de ellos son exactamente las mismas que en una de esas figuras y fuera de la otra; ya que la elipse está contenida totalmente en el círculo, el correspondiente conjunto de puntos es el círculo, la elipse eliminado, anular una región.
Ahora, para cualquier $(x,y)$ en el anillo, el correspondiente $z$ es una raíz cuarta de algunos de los asociados de número no negativo; cualquier número real positivo tiene exactamente dos reales cuarto raíces, uno positivo y uno negativo, mientras que cero, por supuesto, tiene sólo uno, que es cero.
Poner esto juntos, literalmente, vemos que el implícita de la ecuación describe una forma que se obtiene desde el anillo de la siguiente manera:
- Haga dos copias, superpuestos;
- Pega sus bordes a la $xy$-avión;
- Con una copia, "inflar hacia arriba", y con el otro, "inflar a la baja". Los bordes permanecen fijos, pero los interiores flex lejos de la $xy$-plano.
El resultado es, en definitiva, dos anillos pegados en la forma natural a lo largo de sus fronteras, que es un topológico toro.
Por supuesto, yo no uso ningún detalle de la pregunta de para comprobar que la "sombra" de el toro era un anillo. De hecho, eso es lo que importa: que la ecuación es de la forma
$$z^2 + f(x,y) g(x,y) = 0$$
donde el cero conjuntos de $f$ $g$ están cerrados plano de curvas de la figura en el interior de la otra. La superficie resultante siempre será un toro (y no siempre será capaz de utilizar coordenadas polares a la figura hacia fuera).
(edit: Acabo de dar cuenta que escribí $z^2$ allí en lugar de $z^4$. En realidad, eso sería demasiado trabajo, como haría cualquier incluso el poder de $z$.)
Amit Naidu
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No sé cómo "limpiar" este es, pero he aquí mi intento.
Escribir $x=r \cos \alpha$, $y=r\sin\alpha$. La ecuación se convierte en $$z^4+\frac{5- \cos2 \alpha }{2}r^4+ \frac{\cos2 \alpha -7}{2}r^2+1=0$$ Los detalles no importan demasiado, mientras nada cambia de signo, que es de hecho el caso. Así que voy a escribir lo anterior como $$z^4+f(\alpha)r^4-g(\alpha)r^2+1=0$$ donde $\forall\alpha \ f>0,g>0$. Por reescalado $r$ podemos simplificar aún más que a $$z^4+\tilde{r}^4-\tilde g(\alpha)\tilde{r}^2+1=0$$ donde$\tilde r=f^{1/4} r$$\tilde g=\frac{g}{\sqrt f}>0$.
Esta es una ecuación de una elipse en el $z^2$-$r^2$ plano. Para ver esto, usted puede completar el cuadrado para obtener $$ \left(z^2\right)^2+\left(\tilde{r}^2-\frac{\tilde g(\alpha)}{2}\right)^2=\left(\frac{\tilde g(\alpha)}{2}\right)^2-1$$ Es fácil comprobar que $(\tilde g/2)^2-1>0$ todos los $\alpha$.
Por lo tanto, conseguir que para cualquier fijo $\alpha$, $z$ y $r$ están relacionados por alguna curva cerrada $z(\beta), r(\beta)$ que es homeomórficos a $S_1$. En otras palabras, la superficie es homeomórficos a $S_1\times S_1$. QED.
La generalización de
Esto era un poco feo. ¿Qué acerca de que es esencial y lo que era más detalles? El quid de la cuestión es el término que se $f(x,y)=\left(x^2+y^2-1\right)\left(3x^2+2y^2-1\right)$. El contorno de $f(x,y)=0$ tiene este aspecto:
y cualquier otro término con la misma topología (dos copias de $S_1$ cuando uno está en el interior de la otra) que hacer el truco (también, en sustitución de $z^4$ con cualquier otro, incluso el poder).
tim_yates
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jenrmagas
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Si uno pasa a conocer algunos Morse teoría de los siguientes es otra posible solución:
Considere la función $\Phi:\mathbb{R^3}\rightarrow\mathbb{R}$ definido por $$\Phi(x,y,z)=z^4+(x^2+y^2-1)(2x^2+3y^2-1).$$ You want to prove that $\Phi^{-1}(0)=:S$ is a torus. Computing $d_{(x,y,z)}\Phi$ you can check that $0$ is a regular value and hence $S$ is indeed a smooth surface embedded in $\mathbb{R}^3$. In particular $$ S es orientable.
Definir ahora la función $$f:S\rightarrow\mathbb{R},\ (x,y,z)\mapsto y.$$ Using that $T_{(x,y,z)}S=\ker d_{(x,y,z)}\Phi$ it is not difficult to check that $f$ is a Morse function with critical points $(0,-1,0),(0,-\frac{1}{\sqrt{3}},0),(0,\frac{1}{\sqrt{3}},0),(0,1,0)$. Now use the Hessian of $f$ at these points to show that their indices are $0,1,1$ and $2$, respectively. Using the Morse inequalities you get that $\chi(S)=0$.
Desde $S$ es una superficie orientable con la característica de Euler igual a $0$, debe ser un toro.
