Pregunta sobre si $(x^2)^{0.5} = x$ .

Question

En Página de Wikipedia sobre exponenciación sugiere que se cumple la siguiente identidad siempre que la base $b$ es distinto de cero:

$$(b^m)^n = b^{mn}$$

Considera la siguiente función:

$$y = (x^2)^{0.5}$$

Según la identidad anterior, debe cumplirse lo siguiente:

$$y = (x^2)^{0.5} = x^1$$

Sin embargo, considere los gráficos de las dos funciones:

$$y = x$$

$$y = (x^2)^{0.5}$$

Las funciones son iguales para $x \geq 0$ Sin embargo, para $x < 0$ hay una discrepancia. ¿Podría comentar el uso de las reglas de exponenciación? ¿Existen otras circunstancias en las que se puedan encontrar discrepancias similares al aplicar las reglas de exponenciación?

Answer 1

La página a la que se refiere dice lo siguiente. (La énfasis abajo es mío).

Las siguientes identidades son válidas para todo entero exponentes, siempre que la base sea distinta de cero

$0.5$ no es un número entero, por lo que la propiedad no se aplica.

Pero como has visto, $(x^2)^{0.5} = x$ es verdadero para $x \ge 0$ . La razón por la que falla para $x < 0$ es porque elevando al exponente $0.5$ es lo mismo que sacar la raíz cuadrada (siempre que trabajemos sólo con números reales, que supongo que es el caso). Es decir, $y^{0.5} = \sqrt{y}$ . Y cuando decimos simplemente $\sqrt y$ se entiende que estamos hablando del positivo raíz cuadrada. Por ejemplo, $\sqrt9 = 3$ , no $-3$ .

En general, cuando tomamos la raíz cuadrada de un cuadrado, tenemos $\sqrt{x^2} = |x|$ . Por ejemplo, si $x = -4$ entonces tenemos $$x^{0.5} = ((-4)^2)^{0.5} = (16)^{0.5} = 4 \ne x.$$

Answer 2

La identidad que ha indicado sólo es válida para $x \geq 0$ (como se indica en su enlace wikipeda) por lo que, para general $x \in \mathbb{R}$ tenemos $(x^2)^{1/2} = |x| \neq x$ para $x <0$ de ahí la discrepancia

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Una aclaración; tienes dos opciones:

1. O bien la identidad se cumple para bases distintas de cero siempre que los exponentes sean enteros

2. La identidad se cumple para exponentes reales siempre que la base no sea negativa.

Answer 3

Tradicionalmente, la exponenciación de números reales está mal definida cuando la base es negativa y el exponente no es un número entero. Esto se debe al problema que tú mismo acabas de encontrar.

Un número racional puede representarse de múltiples formas, y el denominador puede ser impar o par dependiendo de la representación que elijas. Si, por ejemplo, se define que $x^{\frac{a}{b}}=\sqrt[b]{{\left(x^a\right)}}$ y $x$ es negativa, la paridad de $a$ cambia el signo de lo que hay dentro del radical.

Para los números irracionales, las cosas se ponen aún más confusas. Cuando la base es positiva, se puede extender la exponenciación vía continuidad (ya que estos problemas de signos no existen); al fin y al cabo, cualquier irracional puede ser aproximado por racionales. La cuestión es que no existe una "aproximación canónica" y, aunque existiera, ¿por qué habría de ser en principio tal que los numeradores de las aproximaciones tuvieran todos la misma paridad?

Cuando te sumerges en análisis complejos, estos problemas se tratan mediante ramas logarítmicas. Aun así, en esencia sigue sin haber una forma "única" o mejor de hacerlo.