"IFF" (si y sólo si) frente a "TFAE" (los siguientes son equivalentes)

Question

Si $P$ $Q$ son declaraciones,

$P \iff Q$

y

Los siguientes son equivalentes:

$(\text{i}) \ P$

$(\text{ii}) \ Q$

Hay una diferencia entre los dos? Lo pregunto porque formulaciones de ciertos teoremas (como Heine-Borel) utilizar el último, mientras que otros utilizan el ex. Es simplemente fuera de convenio o de la "etiqueta" que una formulación es preferido? O hay algo más profundo? Gracias!

Answer 1

Como Brian M. Scott explica, son lógicamente equivalentes.

Sin embargo, la expresión de $$A \Leftrightarrow B \Leftrightarrow C$$ es ambiguo. Podría significar cualquiera de las siguientes.

1. $(A \Leftrightarrow B) \wedge (B \Leftrightarrow C).$

2. $(A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow C$

Estos no son equivalentes. Así que para mayor claridad, si nos referimos a la opción 1, que a menudo es mejor escribir:

Los siguientes son equivalentes.

• $A.$
• $B.$
• $C.$

Por lo tanto, me gustaría reservar la declaración de $A \Leftrightarrow B \Leftrightarrow C$ para la opción 2. Funciona porque, sorprendentemente, la $\Leftrightarrow$ operación no es sólo conmutativa (obvio!) pero, sorprendentemente, también es asociativa! Es decir, TFAE.

• $(A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow C$.
• $A \Leftrightarrow (B \Leftrightarrow C)$.

Answer 2

Son exactamente equivalentes. Puede ser un pragmático diferencia en su uso: cuando el $P$ $Q$ son relativamente largas o complejas declaraciones, en la segunda formulación es probablemente más fácil de leer.

Answer 3

"TFAE" es apropiado cuando uno está lista opcional de reemplazos para algunos la teoría. Por ejemplo, usted podría hacer una lista docena de reemplazos para las declaraciones, tales como reemplazos para el quinto postulado de la geometría euclidiana.

"IFF" es una de las implicaciones de la "TFAE", aunque como $P \rightarrow Q \rightarrow R \rightarrow P $, lo que equivale a un iff relación.