Escribir por mi cuenta mi primera prueba de inducción matemática

Question

Estoy tratando de entender cómo escribir la inducción matemática de las pruebas. Este es mi primer intento.

Demostrar que la suma de cúbicos de enteros positivos es igual a la fórmula $$\frac{n^2 (n+1)^2}{4}.$$ Yo creo que esto significa que la suma de cúbicos de enteros positivos es igual a un número impar. Sin embargo, vamos a probar...

1) puedo empezar por probar el caso base $n=1$, y demuestra que la fórmula se mantiene.

2) supongo que cualquier número $k$ otros de $1$, que appartains en $N$, contiene la fórmula y puedo escribir la misma fórmula pero con $k$ que reemplaza $n$.

3) Para la inducción matemática, supongo que la fórmula contiene también para $k+1$ = $n$ Así, el lado izquierdo de la ecuación debe ser:

$$\sum^{k+1}_{i=1} i^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + (k+1)^3$$

Me pregunto acerca de que una de estas 2 formas (equivalentes, creo que) debe tener el lado derecho :

este, con $k+1$ en lugar de la $n$ de la fórmula original / o $k$ en la segunda versión: $\frac{(k+1)^2[(k+1)+1]^2}{4}$ o esta otra: $\frac{k^2(k+1)^2 }{4} + (k+1)^3$ ?

Creo que, en fin de la prueba convincente, se debe escribir una declaración equivalente de la forma original de la fórmula, a saber,$$\sum^{n}_{i=1} i^3= \frac{n^2(n+1)^2}{4}$$ and perhaps we do it by showing that after algebraic passages $\ frac{k^2(k+1)^2 }{4} + (k+1)^3$ is equal to $\frac{(k+1)^2[(k+1)+1]^2}{4}$ ?

Lo siento por mi soliloquio, pero ayuda a entender y agradecería la confirmación de usted!

Answer 1

Su suposición inductiva es tal que la fórmula marcada $\color{red}{\mathrm{red}}$ (varias líneas de abajo) tiene para $i=k$: $$\sum^{i=k}_{i=1} i^3=\frac{k^2 (k+1)^2}{4}$$

Usted necesita demostrar que para $i=k+1$: $$\sum^{i=k+1}_{i=1} i^3=\color{blue}{\frac{(k+1)^2 (k+2)^2}{4}}$$ Para ello se puede utilizar: $$\sum^{i=n}_{i=1} i^3=\color{red}{\frac{n^2 (n+1)^2}{4}}$$ como este es lo que usted está tratando de demostrar.

Entonces, ¿qué puedes hacer en su lugar es un aviso de que: $$\sum^{i=k+1}_{i=1} i^3= \underbrace{\frac{k^2 (k+1)^2}{4}}_{\text{sum of k terms}} + \underbrace{(k+1)^3}_{\text{(k+1)th term}}$$ $$\sum^{i=k+1}_{i=1} i^3= (k+1)^2\left(\frac{1}{4}k^2+(k+1)\right)$$ $$\sum^{i=k+1}_{i=1} i^3= (k+1)^2\left(\frac{k^2+4k+4}{4}\right)$$ $$\sum^{i=k+1}_{i=1} i^3= (k+1)^2\left(\frac{(k+2)^2}{4}\right)=\color{blue}{\frac{(k+1)^2 (k+2)^2}{4}}$$

Que es la relación nos proponemos demostrar. Así que el método es sustituto $i=k+1$ en la fórmula que se está tratando de probar y, a continuación, utilizar la suposición inductiva para recuperar la $\color{blue}{\mathrm{blue}}$ ecuación de la final.

Answer 2

Parece que su problema es más conceptual que algebraicas ya estás atascado acerca de que el formulario de la derecha para su uso.

Una prueba por inducción sobre una fórmula de suma funciona mostrando: (1) se mantiene en el caso base, cuando el índice se encuentra en su mínimo; y (2) si se aplica para el $n=k$ de los casos, luego de que se valen también para el $n=k+1$ de los casos.

Con estos dos en la mano podemos demostrar que la fórmula que se tiene en cualquier índice. Por ejemplo, sabemos que sostiene en $k=10$ debido a que contiene en $k=1$ (a través de (1)) lo que implica que sostiene en $k=2$ (a través de (2)) lo que implica que sostiene en $k=3$ (a través de (2) de nuevo), y así sucesivamente, aplicar repetidamente (2) hasta llegar a 10.

Queremos mostrar que "la fórmula se aplica a $k$" implica que la fórmula tiene en $k+1$, por lo que nuestro objetivo es mostrar que el$\sum_{i=1}^{k+1}i^3 = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}$, y el de la munición es nuestra suposición de que $1^3+\ldots+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}$.

Para conectar los dos, nos damos cuenta de que el lado izquierdo de nuestro objetivo de nidos nuestra suposición -- $\sum_{i=1}^{k+1}i^3 = (1^3+\ldots+k^3)+(k+1)^3$.

El resto es álgebra.

Answer 3

Usted debe usar el segundo de ellos: suponga que lleva a cabo para el primer número de $k$. Así que su suma es igual a $\frac{k²(k+1)^2}{4}$. Entonces la primera suma de los primeros $k+1$ es igual a $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + (k+1)^3=\frac{k²(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\frac{k²(k+1)^2}{4}+\frac{4(k+1)^3}{4}$ que es igual a $\frac{k²(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}=\frac{(k+1)²(k²+4k+4)}{4}=\frac{(k+1)²(k+2)²}{4}$.

Eso es precisamente lo que usted necesita.

Answer 4

Quiere demostrar $$\sum_{i=1}^{n}i^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{4}$ $ mediante inducción.

$n=1$, $$\sum_{i=1}^{1}i^3 = 1^3=1=\frac{1^2(1+1)^2}4=1$ $ Por lo que la fórmula funciona para el caso base $n=1$.

Ahora, asumir que la fórmula funciona para $n=k$ y mostrar que esto implica que la fórmula es correcta $n=k+1$ que logrará la prueba por inducción. Así,\begin{align} \sum{i=1}^{k+1}i^3 & = \left(\sum{i=1}^{k}i^3\right) +(k+1)^3 \ & = \frac{k^2 (k+1)^2}{4}+(k+1)^3 \ & = \frac{k^2 (k+1)^2+4(k+1)^3}{4} \ & = \frac{ (k+1)^2(k^2+4(k+1))}{4} \ & = \frac{ (k+1)^2(k+2)^2}{4} \ & = \frac{ (k+1)^2((k+1)+1)^2}{4} \end {alinee el} y listo.