Mostrar que la Función Beta $\beta (x, y)$ Converge Cuando $x \gt 0, \space y \gt 0$

Question

Dado $\beta (x, y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt$, Muestra que $\beta (x,y)$ converge cuando $x \gt 0, \space y \gt 0$.

$$\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt = \int_0^{0.5} t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt + \int_{0.5}^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt$$ Ahora, según el texto, para la integral de $0$ a $1 \over 2$, $t^{x-1}(1-t)^{y-1} \le t^{x-1}$.
$\int_0^{0.5} t^{x-1} dt \lt {\infty}$ implica que $\int_0^{0.5} t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt$ converge.

Bueno, $t^{x-1}(1-t)^{y-1} \le t^{x-1}$ cuando $y \ge 1$, no para todos los $y \gt 0$.

Luego, el texto hace algo similar para la integral de ${1 \over 2}$ a $1$:
Dado que $t^{x-1}(1-t)^{y-1} \le (1-t)^{y-1}$,
$\int_{0.5}^1 (1-t)^{y-1} dt \lt {\infty}$ implica que $\int_{0.5}^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt$ converge.

Bueno, $t^{x-1}(1-t)^{y-1} \le (1-t)^{y-1}$ cuando $x \ge 1$.
Así que el texto muestra que $\beta (x,y)$ converge cuando $x, y \ge 1$.

¿Cometí algún error en algún lugar o malinterpreté algo?

Answer 1

Debería decir que si $y > 0$ hay una constante $c$ tal que $t^{x-1}(1-t)^{y-1} \le c t^{x-1}$ para $0 < t < 1/2$.