Veo que mi respuesta no era tan clara. Déjame intentarlo de nuevo.
Su primer comentario dice que, dado un nudo $K:S^1\subset M$ en un 3-colector, con una opción de encuadre, es decir, campo de vectores normales a $K$, se puede calcular el auto de vinculación número.
Mi primera observación es que esto sólo es posible si el nudo es nullhomologous, es decir, representa el $0$$H_1(M)$. Por ejemplo, no hay auto-vinculación de número de la core $0\times S^1\subset D^2\times S^1$ de un sólido toro, no importa cómo usted lo enmarcan.
Si K es nullhomologous, luego, dependiendo de cómo usted piensa de homología puede ver que hay un 2-cadena con el límite el nudo $K$. Es cierto, pero un poco más de trabajo, para ver que en realidad no existe una orientada incrustado superficie $C\subset M$ con límite de $K$. (así que usted puede tomar la 2-cadena ser la suma de los triángulos en una triangulación de $C$. Entonces, dado cualquier otro nudo $L$ disjunta de a $K$ (por ejemplo, un empuje de $K$ con respecto a algunos de encuadre), entonces la intersección de a $C$ $L$ es por definición $lk(K,L)$ y es un número entero. Usted puede preocuparse de si es independiente de la elección de $C$, y la respuesta es sí si $L$ es también nullhomologous, o más generalmente de torsión (es decir, finito de orden) en $H_1(M)$, y además en este caso también es simétrica, $lk(K,L)=lk(L,K)$. Aviso que no encuadre de $K$ o $L$ fue utilizado para definir la $lk(K,L)$.
Ahora para responder a sus preguntas. Desde $H_1(S^3)=0$, cada nudo en $S^3$ es nullhomologous. Así que cualquiera de los dos componentes enlace en $S^3$ tiene un lugar bien definido entero vinculación de número. Usted está considerando el componente 2 enlace determinado por $K$ normal y una framing: el encuadre normal se utiliza para empujar $K$ conseguir $L=f(K)$. Como nota, cambiando el encuadre cambia la vinculación de número, y de hecho por la torsión de una vez a través de un pequeño arco en $K$ se puede cambiar por $\pm1$. Por lo tanto hay algunos encuadre $f$, de modo que $lk(K, f(K))=0$, esta es la canónica de los marcos (generalmente denominada "0-framing"). Tiene sentido en $S^3$, o cualquier 3-colector con $H_1(M)=0$.
Para tu segunda pregunta, te refieres a algo un poco diferente concepto, que es la vinculación de emparejamiento $lk:Torsion(H_1(M))\times Torsion(H_1(M))\to Q/Z$.
Se define de la siguiente manera: dado $a,b$ torsión clases, a continuación, algunos entero $n$ (por ejemplo el orden de $torsion(H_1(M))$) tiene la propiedad de que $na$ es nullhomologous. Por lo tanto $na$ es representado por un nullhomologous nudo, lo llaman $K$. $b$ también está representado por un nudo decir $L$, que puede ser perturbado a ser disjunta de a $K$. A continuación, defina $lk(a,b)$ $(1/n) lk(K,L)$ mod $Z$, $lk(K,L)$ anterior.
Por ejemplo, si $P$ es un nudo en una lente de espacio $M=L(p,q)$$H_1(M)=Z/p$, usted podría tomar $a=[P]$$b=[P]$$H_1(M)$, y, a continuación, $lk(a,b)=q n^2/p$ para algunos entero $n$ que depende del $a$. Tenga en cuenta que la respuesta (mod Z!) es independiente de cómo empujar $P$ fuera de sí mismo, en particular, la elaboración de $P$ es irrelevante, y que nunca se $0$ si $a=0$ ($P$ es nullhomologous). Tenga en cuenta también que si no mod a cabo por los enteros, a continuación, la vinculación de emparejamiento no está bien definida.
