Auto de Vinculación Número en 3-Variedades

Question

Podemos asignar un encuadre a un nudo $K$ (en algunos agradable espacio suficiente $M$) para calcular el auto de vinculación número de $lk(K,K)$. Pero, por supuesto, no es necesariamente canónica, como añadido se retuerce en su campo vectorial puede quitar/añadir cruces.

Dos cosas están establecidas en Witten del QFT papel en el polinomio de Jones, que no acabo de ver:

1) En $S^3$ tenemos una canónica de la elaboración de nudos, solicitando que $lk(K,K)=0$.
Por qué? Debo ser la comprensión de este mal, porque si hemos de decidir el encuadre exigiendo $lk(K,K)=0$, por lo que el encuadre es todo aquello que hace girar las necesidades para lograr esto, entonces no estamos haciendo una elección?? Podríamos simplemente han requerido $lk(K,K)=n$ para cualquier entero $n$. Si $n> 0$ no hay, a continuación, existen múltiples posibles encuadres?

2) Para general 3-variedades, podemos tener $lk(K,K)$ mal definido o puede ser una fracción fija (modulo $\mathbb{Z}$) por lo que cualquier opción de encuadre no lo hará $0$.
¿Cuáles son algunos ejemplos? Cuando es posible establecer una fracción fija? Hay una relación entre el 3-colector $M$ y el valor fraccionario puede asignar a $lk(K,K)$?

Answer 1

Veo que mi respuesta no era tan clara. Déjame intentarlo de nuevo. Su primer comentario dice que, dado un nudo $K:S^1\subset M$ en un 3-colector, con una opción de encuadre, es decir, campo de vectores normales a $K$, se puede calcular el auto de vinculación número. Mi primera observación es que esto sólo es posible si el nudo es nullhomologous, es decir, representa el $0$$H_1(M)$. Por ejemplo, no hay auto-vinculación de número de la core $0\times S^1\subset D^2\times S^1$ de un sólido toro, no importa cómo usted lo enmarcan.

Si K es nullhomologous, luego, dependiendo de cómo usted piensa de homología puede ver que hay un 2-cadena con el límite el nudo $K$. Es cierto, pero un poco más de trabajo, para ver que en realidad no existe una orientada incrustado superficie $C\subset M$ con límite de $K$. (así que usted puede tomar la 2-cadena ser la suma de los triángulos en una triangulación de $C$. Entonces, dado cualquier otro nudo $L$ disjunta de a $K$ (por ejemplo, un empuje de $K$ con respecto a algunos de encuadre), entonces la intersección de a $C$ $L$ es por definición $lk(K,L)$ y es un número entero. Usted puede preocuparse de si es independiente de la elección de $C$, y la respuesta es sí si $L$ es también nullhomologous, o más generalmente de torsión (es decir, finito de orden) en $H_1(M)$, y además en este caso también es simétrica, $lk(K,L)=lk(L,K)$. Aviso que no encuadre de $K$ o $L$ fue utilizado para definir la $lk(K,L)$.

Ahora para responder a sus preguntas. Desde $H_1(S^3)=0$, cada nudo en $S^3$ es nullhomologous. Así que cualquiera de los dos componentes enlace en $S^3$ tiene un lugar bien definido entero vinculación de número. Usted está considerando el componente 2 enlace determinado por $K$ normal y una framing: el encuadre normal se utiliza para empujar $K$ conseguir $L=f(K)$. Como nota, cambiando el encuadre cambia la vinculación de número, y de hecho por la torsión de una vez a través de un pequeño arco en $K$ se puede cambiar por $\pm1$. Por lo tanto hay algunos encuadre $f$, de modo que $lk(K, f(K))=0$, esta es la canónica de los marcos (generalmente denominada "0-framing"). Tiene sentido en $S^3$, o cualquier 3-colector con $H_1(M)=0$.

Para tu segunda pregunta, te refieres a algo un poco diferente concepto, que es la vinculación de emparejamiento $lk:Torsion(H_1(M))\times Torsion(H_1(M))\to Q/Z$. Se define de la siguiente manera: dado $a,b$ torsión clases, a continuación, algunos entero $n$ (por ejemplo el orden de $torsion(H_1(M))$) tiene la propiedad de que $na$ es nullhomologous. Por lo tanto $na$ es representado por un nullhomologous nudo, lo llaman $K$. $b$ también está representado por un nudo decir $L$, que puede ser perturbado a ser disjunta de a $K$. A continuación, defina $lk(a,b)$ $(1/n) lk(K,L)$ mod $Z$, $lk(K,L)$ anterior.

Por ejemplo, si $P$ es un nudo en una lente de espacio $M=L(p,q)$$H_1(M)=Z/p$, usted podría tomar $a=[P]$$b=[P]$$H_1(M)$, y, a continuación, $lk(a,b)=q n^2/p$ para algunos entero $n$ que depende del $a$. Tenga en cuenta que la respuesta (mod Z!) es independiente de cómo empujar $P$ fuera de sí mismo, en particular, la elaboración de $P$ es irrelevante, y que nunca se $0$ si $a=0$ ($P$ es nullhomologous). Tenga en cuenta también que si no mod a cabo por los enteros, a continuación, la vinculación de emparejamiento no está bien definida.

Answer 2

su primera frase no está muy bien: no se puede definir un número de vinculación a un cuadro de un nudo en una 3-variedad en general. ambas preguntas están relacionadas con esto.

2 pasos:

1. I K U L es un enlace en M (y para ser claros, M es una orientada a 3-colector, no un espacio general) y K), L) son nullhomologous en M, vamos a C 2-cadena con el límite K, y definir lc(K,L) como el número entero intersección número de L con C (es decir, que las cadenas simplicial y transversal y el recuento de la intersección de L con C con los signos). Si K es un nudo, puede dejar a L ser una pushoff wrt un encuadre y, a continuación, puede ver la dependencia de la estructura. Tenga en cuenta que este es geoemtric, no homológica.

   1. si $k,l \in H_1(M)$ son de torsión de las clases representadas por ciclos específicos, a continuación, tome $n\in Z$, de modo que $nk=0$, luego deje $c$ ser un 2-cadena con límite de $nk$, y definir $lk(k,l)= (1/n) c \cdot l$$Q/Z$. Tomando el cociente por $Z$ asegura que la respuesta es independiente de la representante de los ciclos.

Esta segunda construcción se llama la "conexión de emparejamiento" de M. que si homológica, no geométricos.