Gracias por el anuncio de mi papel! Por desgracia, el papel no existe, sin embargo - no he terminado de escribir - pero hay algunas diapositivas disponibles en mi sitio web , que dan la idea principal.
Usted pregunta en realidad contiene un montón de preguntas, y posiblemente algunos conceptos erróneos. Tal vez voy a empezar con una breve diciendo lo que yo estoy tratando de hacer con mi noción de cologic, y luego me ocuparé de lo que has escrito y tratar de aclarar algunas cosas.
Una fórmula $\varphi(\overline{x})$ ordinario de la lógica de primer orden viene con un conjunto finito de variables libres $\{x_1,\dots,x_n\}$. Dada una estructura de $M$ y una interpretación de las variables (es decir, una función de $\{x_1,\dots,x_n\}\to M$, que se identifica con su imagen, una tupla $\overline{a}$ de los elementos de $M$), se puede definir lo que significa para $\overline{a}$ a satisfacer $\varphi(\overline{x})$$M$, escrito $M\models \varphi(\overline{a})$. Así que las fórmulas de describir las propiedades de finito de piezas de $M$ (funciones de finito de conjuntos de a $M$), y el primer orden de los cuantificadores $\exists$ $\forall$ nos permiten explorar cómo $M$ es construido (como dirigida colimit) de finito de piezas.
Por otro lado, existen los objetos matemáticos que son más fundamentalmente descrito por sus finito de coeficientes (mapas para finito de piezas, en lugar de la de finito de piezas). Tal vez el ejemplo canónico es profinite grupos, que no son de primer orden de las estructuras en el sentido habitual (gracias a la topología). Así, por ejemplo, en el contexto de profinite grupos, una fórmula de cologic describe una propiedad de un número finito de cociente de una profinite grupo $G$ (una función continua $G\to H$ donde $H$ es un grupo finito equipado con la topología discreta), y cuantificadores nos permiten explorar cómo $G$ es construido como un límite inversa (un codirigido límite finito de piezas.
La ruta real que puedo tomar para la definición de cologic es el primero en describir una versión abstracta de la lógica de primer orden con semántica en un local finitely presentable categoría (esencialmente, esta es una categoría en la que cada objeto es construido como una dirigida colimit de finitely presentable piezas en un sentido preciso - los ejemplos incluyen la categoría de conjuntos y de la categoría de $L$-las estructuras de primer orden lenguaje $L$), y, a continuación, definir un "primer orden cologic" a ser el mismo de la construcción aplicada al frente de una categoría cuyo doble es localmente finitely presentable (por ejemplo, el doble de la categoría de profinite grupos localmente finitely presentable, y el primer fin de cologic de profinite grupos es la lógica de primer orden de $\mathsf{ProFinGrp}^{\text{op}}$).
Así que para mí, un cologic no está definido por mirar alguna categoría de la lógica y la dualizing, o incluso pensando en un fijo de la lógica como correspondiente a categórico estructura y dualizing, como se podría hacer en categorías de la lógica. Más bien, la dualization que está sucediendo en la categoría semántica (la categoría de estructuras o modelos).
Ahora, para abordar algunas de las cosas que escribió:
El concepto de un cocategory es omnipresente en la categoría de teoría.
Qué significa el concepto de "opuesto a la categoría de" o es sinónimo de "doble categoría"? Estos términos significan algo distinto a "cocategory", que es mucho menos común.
Me preguntaba si hay alguna clara, intuitiva ejemplos de cologics ... [o] estándar ejemplos de cologics en la literatura.
El principal ejemplo de un "cologic" en la literatura es la cologic de profinite grupos definidos por Cherlin, van den Dries, y Macintyre, en el curso de su estudio en el modelo de la teoría de la PAC campos por medio de su absoluta grupos de Galois. Su papel, en La Teoría Elemental de la Regularidad de Campos Cerrados, nunca fue publicada, pero se puede leer un resumen en la nota Decidability y Undecidability Teoremas para el PAC Campos, o en papeles con Zoe Chatzidakis como este, o en Nina Frohn la tesis de Doctorado. Estos autores diferentes (menos abstracto) enfoque cologic que yo, definiendo específicamente en el contexto de profinite grupos. En el caso especial de profinite grupos, mi cologic que esencialmente tiene el mismo poder expresivo como la noción anterior.
Que yo sepa, no hay ninguna noción general de "cologic" aparte de estos. Si hay algún otro ejemplo en la literatura, me gustaría saber acerca de ella.
Tal vez sería bueno tener una explicación de la noción de la
categoría de la lógica (y un ejemplo) y, a continuación, de la categoría de
cologics.
Que yo sepa no hay forma de definir a un general "de la categoría de la lógica". Ya hay una dificultad en proporcionar una definición satisfactoria de lo que cuenta como una "lógica", mucho menos de lo que cuenta como una de morfismos entre lógicas. Existe una noción de lógica abstracta, que es la configuración de Lindström del teorema, y el resumen de la lógica son parcialmente ordenado por su expresividad, pero muchos de la lógica modal lógica, continua la lógica, etc.) no son abstractas de la lógica en el sentido de Lindström del teorema.
En categórica de la lógica, la filosofía es la que fija la lógica, podemos assocate a cada teoría $T$ en la lógica de una categoría con ciertas extra estructura (determinado por la lógica). A continuación, una interpretación de una teoría en otra corresponde a un functor entre sus categorías, que conserva la estructura. Así que para cada lógica, tenemos una categoría de las teorías en que la lógica, con interpretaciones como morfismos. Tal vez esto es algo parecido a lo que estás pidiendo.
Hay también una noción de comodel (y la categoría de los modelos?)
? Lo que sería, por ejemplo, la categoría de modelos de primer orden
el lenguaje?
Es fácil definir la categoría de modelos de primer orden lenguaje o teoría. Si usted toma los objetos a los modelos, usted tiene varias opciones de flechas: las opciones más comunes son primarias incrustaciones, incrustaciones, y homomorphisms. Es una pregunta natural a la pregunta de qué categorías se presentan en este camino. Una propiedad que la categoría de los modelos, junto con la primaria incrustaciones siempre ha es la accesibilidad.
Creo que ya he abordado su pregunta sobre "comodels" - mi noción de cologic en realidad comienza con la semántica de la noción de un "costructure". Y en vista de una teoría de mi cologic, la categoría de "comodels" para que la teoría siempre será co-accesible (el doble de un accesibles categoría).
