Ejemplo más fácil de cambio de infinito hacia diferentes sumas

Question

Estoy leyendo la sección sobre el reordenamiento de la serie infinita en Aceptar, E. A. (2007). Análisis Real con Aplicaciones Económicas. Princeton University Press.

Como ejemplo, el autor muestra que

es un reordenamiento de la secuencia

\begin{align} \frac{(-1)^{m+1}}{m} \end{align}

y que la infinita suma de estas dos secuencias deben ser diferentes.

Mi pregunta es : ¿qué es para usted la forma más fácil y más intuitivo ejemplo de tales serie infinita de tener diferentes valores para diferentes disposiciones de los términos? Idealmente, espero encontrar algo tan intuitivo como el de la ilustración que algunas series infinitas no tienen límites a través de $\sum_\infty (-1)^i$.

He encontrado otro ejemplo en http://www.math.ku.edu/~lerner/m500f09/Reordenamientos.pdf pero todavía es demasiado abstracto para alimentar a mi intuición...

Answer 1

$$1/2-1/3+1/4-1/5+1/6-1/7+\cdots=(1/2-1/3)+(1/4-1/5)+(1/6-1/7)+\cdots$$ is obviously positive. The rearrangement $$1/2-1/3-1/5+1/4-1/7-1/9+1/6-1/11-1/13+\cdots$$ is clearly negative; just group it as $$(1/2-1/3-1/5)+(1/4-1/7-1/9)+(1/6-1/11-1/13)+\cdots$$ which is $$(1/2-8/15)+(1/4-16/63)+(1/6-24/143)+\cdots\lt(1/2-8/16)+(1/4-16/64)+(1/6-24/144)+\cdots=0$$

Answer 2

Hay un argumento en el Stewart cálculo libro 5º edición (la que yo he aprendido de) que utiliza la alternancia serie armónica, ya que es condicionalmente convergente que va como esto:

De la serie: $$ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots = \ln 2 $$ La multiplicación de la serie por la mitad de la producción: $$ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \dots = \frac{1}{2} \ln 2 $$ Luego hace un truco mediante la inserción de ceros entre cada número: $$0 + \frac{1}{2} +0 - \frac{1}{4}+0 + \frac{1}{6}+0 - \frac{1}{8}+ \dots = \frac{1}{2} \ln 2 $$ Luego agrega la suma original y el recién adquirido suma anterior y se obtiene: $$ 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \dots = \frac{3}{2} \ln 2 $$ Afirma que este es el original de la serie con términos reorganizadas con pares de términos positivos, seguido por los negativos producen una completamente diferente a suma.

Stewart, J "de una Sola Variable Cálculo" 5ª edición

Answer 3

La siguiente variante de la alternancia de armónicos es computacionalmente fácil. Considerar la serie $$ 1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{8}+\cdots.$$ La suma es $0$. Para las sumas parciales son o $0$ o $\frac{1}{2^k}$ adecuado $k$ que ir hasta el infinito.

Permítanos reorganizar esta serie para dar suma de $1$. Uso $$\begin{align} 1+&\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}\\&+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}-\frac{1}{8}+\cdots.\end{align}$$ Que la serie converge a $1$ se deduce del hecho de que la suma de los primeros a $3n+1$ términos siempre es $1$, y que la suma de los primeros a $3n+2$ términos y la suma de los primeros a $3n+3$ términos, difieren de la suma de los primeros a $3n+1$ términos por una cantidad $\to 0$$n\to\infty$.