Ecuación de refracción, ecuación cuártica

Question

Dados dos puntos $P$$Q$, una línea de ($A$, $B$ - proyección ortogonal de $P$, $Q$ en la línea) y un coeficiente de $n$, quiero encontrar a un punto en $C$ que $\frac{\sin{a}}{\sin{b}}=n$ (de hecho, es una ecuación de la refracción de la luz). También asumo que $C$ se encuentra entre $A$$B$. Ver la imagen de abajo:

Lo que quiero saber es: $w, h, d, n$. Lo que se desea calcular es $x$.

Necesito encontrar la solución más sencilla posible, con el fin de calcular el $x$ en una aplicación del equipo de manera muy eficiente.

Lo que he encontrado hasta ahora es:

$$n=\frac{\sin{a}}{\sin{b}}=\frac{\frac{d-x}{\sqrt{(d-x)^2+w^2}}}{\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}}=\frac{(d-x)\sqrt{x^2+h^2}}{x\sqrt{(d-x)^2+w^2}}$$

Por lo tanto, tenemos que resolver esta ecuación para $x$ (asumiendo $0<x<d$):

$n^2x^2((d-x)^2+w^2)=(d-x)^2(x^2+h^2)$

que los rendimientos:

$f(x)=(n^2-1)x^4-2d(n^2-1)x^3+((d^2+w^2)(n^2-1)+w^2-h^2)x^2+2dh^2x-d^2h^2 = 0$

De esa manera se obtuvo una ecuación de cuarto grado. Cómo resolverlo? He intentado usar el Ferrari solución, pero el resultado es muy complicado. Por otra parte, esta ecuación puede tener hasta cuatro raíces reales, pero sé que tiene sólo una raíz para $0<x<d$. ¿Tiene usted alguna idea de cómo simplificar esta ecuación o tal vez usted me puede sugerir una manera más fácil encontrar $x$?

Answer 1

Una parcela de un ejemplo típico se muestra que el lado derecho de la última ecuación muestra se comporta bastante bien y debería ser posible obtener la solución de manera eficiente utilizando el método de Newton, que no requieren de sacar raíces y debe ceder el resultado de la suficiente precisión dentro de un par de iteraciones que implica sólo un par de multiplicaciones y adiciones y una división de cada uno.

Usted podría utilizar la solución de $x=dh/(h+w)$ $n=1$ como el valor inicial de la iteración.

Por cierto, me gustaría dividir a través de por $d^4$ a deshacerse de la irrelevante escala y expresar todo lo relativo a $d$:

$$\epsilon\xi^4-2\epsilon\xi^3+((1+\omega^2)\epsilon+\omega^2-\eta^2)\xi^2+2\eta^2\xi-\eta^2=0\;,$$

con $\epsilon=n^2-1$, $\xi=x/d$, $\omega=w/d$ y $\eta=h/d$ con valor inicial $\xi_0=\eta/(\eta+\omega)$.

Answer 2

Siempre que use un método numérico, también podría apegarse a una forma no polinómica de su ecuación que se comporte mejor. En particular, solo podría resolver$$\frac{(d-x)/\sqrt{(d-x)^2+w^2}}{x/\sqrt{x^2+h^2}}=n$ $ para$x$. El lado izquierdo es una función monótonamente decreciente de$x$ entre$0$ y$d$, porque el numerador no es negativo y disminuye y el denominador no es negativo y aumenta. Entonces puede aplicar la búsqueda de bisección y está garantizado que funciona.