Que $A$ ser la siguiente matriz: $$A = \left(\begin{array}{rrr} -1 & \hphantom{-}3 & \hphantom{-}0\ 0 & 2 & 0\ -3 & 3 & 2 \end{array}\right). $$ he encontrado que los valores propios son -1 y 2 (multiplicidad 2). ¿Sin embargo, al intentar encontrar los vectores propios del valor propio 2, solo encuentro uno, como el % de matriz ampliada $A-2I$reduce a \left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0\ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$. $ así que existe otra manera de diagonalise esta matriz, o he cometido yo un error en alguna parte?
Respuesta
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Primero: no todos los de la matriz es diagonalizable; si la dimensión del subespacio propio de un autovalor es estrictamente menor que la multiplicidad del autovalor, entonces la matriz no es diagonalizable (la condición es necesaria y suficiente para matrices cuyo polinomio característico divisiones: una matriz es diagonalizable si y solo si el polinomio característico se divide, y la multiplicidad geométrica de cada autovalor es igual a la multiplicidad geométrica).
Segundo: esta matriz es diagonalizable. Hizo todo bien, pero malinterpretado lo $A-2I$ estaba diciendo.
Estás en lo correcto de que la matriz tiene polinomio característico $\chi(t) = (2-t)^2(-1-t)$, por lo que el $\lambda=2$ es un autovalor con multiplicidad $2$, e $\lambda=-1$ es un autovalor con multiplicidad $1$.
Cuando se intenta encontrar el nullspace para $A-2I$ encontrar el espacio propio para $\lambda=2$, se obtiene $$\left(\begin{array}{rrr} -3 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ -3 & 3 & 0 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right),$$ exactamente lo que usted describe, hasta ahora tan bueno.
Pero ahora te has malinterpretado lo que encontró: esta matriz tiene rango $1$, por lo que el nullspace tiene dimensión dos, exactamente lo que usted necesita! La matriz se corresponde con el sistema que tiene la única ecuación de $x-y = 0$. Esto significa que $z$ es totalmente gratuito, y $x$ debe ser igual a $y$. Así que las soluciones de este sistema son: $$\begin{array}{rcl} x & = &s\\ y & = &s\\ z & = &t \end{array}\qquad\quad\mbox {$s$$t$ arbitrarias.}$$ Así que usted consigue dos vectores linealmente independientes: uno correspondiente a $s=0$$t=1$, y la correspondiente a $s=1$$t=0$. Así que usted puede encontrar dos linealmente independiente de vectores propios correspondientes a $2$: $(0,0,1)$ y $(1,1,0)$. Multiplicar por $A$ para comprobar que de verdad son vectores propios de a $\lambda=2$.
