Doblar una hoja de papel rectangular

Question

Se da una hoja de papel rectangular. Se juntan los vértices diagonales de la hoja y se doblan de manera que se forme una línea (marca) en la hoja. Si la longitud de esta marca es igual a la longitud de la hoja, ¿cuál es la relación entre la longitud y la anchura de la hoja?

Esta es mi primera pregunta en este sitio, así que si esto no es una buena pregunta por favor ayuda.

Answer 1

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La figura de arriba fue hecha usando grapher en mac osx.

Dejemos que $l$ sea la longitud (es decir, los lados $AD$ y $BC$ ) y $b$ sea la anchura (es decir, los lados $AB$ y $CD$ ). Una vez que se juntan los vértices diagonales, es decir, cuando $D$ coincide con $B$ la longitud $EB$ es la misma que la longitud $ED = l-a$ .

Por lo tanto, para el triángulo rectángulo, tenemos que $$a^2 + b^2 = (l-a)^2\\ b^2 = l^2 - 2al\\ a = \frac{l^2 - b^2}{2l}$$ La longitud de $BF$ es $l-a$ y viene dada por $$l-a = l - \frac{l^2 - b^2}{2l} = \frac{2l^2 - l^2 + b^2}{2l} = \frac{l^2 + b^2}{2l}$$ La distancia entre los dos puntos es $$EF^2 = r^2 = b^2 + (l-2a)^2 = b^2 + \left(l - \frac{l^2 - b^2}{l} \right)^2 = b^2 + \frac{b^4}{l^2}$$ Esto es así porque la distancia vertical entre $E$ y $F$ es $l-2a$ .

Se le da que $r = l$ y por lo tanto $$l^2 = b^2 + \frac{b^4}{l^2}$$ Si dejamos que $$\frac{l}{b} = x,$$ entonces obtenemos que $$x^2 = 1 + \frac1{x^2}\\ x^4 = x^2 + 1$$ lo que nos da que $$x = \sqrt{\frac{1}{2} (1+\sqrt{5})} = \sqrt{\phi}$$ donde $\phi$ es la proporción áurea.

Answer 2

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Se nos da que $ZY = BC$ y queremos encontrar $BC/AB$ . Para simplificar las cosas, elija las unidades de manera que $AB=1$ ; y dejar que $s = AC$ y $t = BC$ . Entonces queremos encontrar $t$ .

Triángulo $XYC$ es similar al triángulo $BAC$ Así que $CX/XY = BC/AB$ .
$ZY=2XY$ y $AC=2CX$ Así que $AC/ZY = BC/AB$ .
Y se nos da que $ZY=BC$ Así que $AC/BC = BC/AB$ .

Así, $s = t^2$ . Y por Pitágoras, $s^2 = 1 + t^2$ . Sustituyendo por $s$ obtenemos $t^4 - t^2 - 1 = 0$ que (como ya demostró Marvis) da $t = \sqrt \phi$ .